Mostrar que as relações de tempos e de velocidades quando a tensão superficial é a forga dominante, são:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A questão quer que a gente mostre como as relações de tempos ( ) e velocidades ( ) são determinadas quando a tensão superficial é a força dominante no sistema. Para isso, vamos precisar das seguintes variáveis:
  • : uma medida de comprimento característico do sistema.
  • : a densidade do fluido.
  • : a tensão superficial do fluido.
Vamos usar essas variáveis para derivar as fórmulas para e .

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre tensão superficial. Ela é uma força que atua na interface entre dois fluidos (como água e ar) e tende a minimizar a área dessa interface. Quando a tensão superficial é a força dominante, ela influencia diretamente no comportamento das ondas e na dinâmica do fluido.

Passo 3

Para encontrar a relação do tempo ( ), pensamos no equilíbrio entre as forças de tensão superficial e inerciais do fluido. As forças inerciais estão relacionadas com a densidade ( ) e a aceleração, que por sua vez está ligada ao tempo.
Matematicamente, podemos igualar a força de tensão superficial com a força inercial , onde é o comprimento característico e é o tempo que queremos encontrar.
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para . Primeiro, isolamos :
Depois, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a relação para a velocidade ( ). A velocidade pode ser entendida como a distância percorrida ( ) dividida pelo tempo ( ):
Usando a expressão que encontramos para , substituímos:

Passo 6

Simplificando a expressão para , temos:

Resposta

Assim, mostramos que as relações de tempos e de velocidades quando a tensão superficial é a força dominante são:

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