Mostrar que as relações de tempos e de velocidades quando a tensão superficial é a forga dominante, são:
Tr=raizLr^3 times rhorsigmar e Vr=raizsigmarLr rhor respectivamente

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A questão quer que a gente mostre como as relações de tempos ( Tr) e velocidades ( Vr) são determinadas quando a tensão superficial é a força dominante no sistema. Para isso, vamos precisar das seguintes variáveis:
  • Lr: uma medida de comprimento característico do sistema.
  • rhor: a densidade do fluido.
  • sigmar: a tensão superficial do fluido.
Vamos usar essas variáveis para derivar as fórmulas para Tr e Vr.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre tensão superficial. Ela é uma força que atua na interface entre dois fluidos (como água e ar) e tende a minimizar a área dessa interface. Quando a tensão superficial é a força dominante, ela influencia diretamente no comportamento das ondas e na dinâmica do fluido.

Passo 3

Para encontrar a relação do tempo ( Tr), pensamos no equilíbrio entre as forças de tensão superficial e inerciais do fluido. As forças inerciais estão relacionadas com a densidade ( rhor) e a aceleração, que por sua vez está ligada ao tempo.
Matematicamente, podemos igualar a força de tensão superficial sigmar com a força inercial rhor Lr^2 / Tr^2, onde Lr é o comprimento característico e Tr é o tempo que queremos encontrar.
Então, temos:
sigmar = rhor Lr^2Tr^2

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para Tr. Primeiro, isolamos Tr^2:
Tr^2 = rhor Lr^2sigmar
Depois, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Tr = raizrhor Lr^2sigmar
Isso simplifica para:
Tr = raizLr^3 times rhorsigmar

Passo 5

Agora, vamos encontrar a relação para a velocidade ( Vr). A velocidade pode ser entendida como a distância percorrida ( Lr) dividida pelo tempo ( Tr):
Vr = LrTr
Usando a expressão que encontramos para Tr, substituímos:
Vr = LrraizLr^3 times rhorsigmar

Passo 6

Simplificando a expressão para Vr, temos:
Vr = raizsigmarLr rhor

Resposta

Assim, mostramos que as relações de tempos e de velocidades quando a tensão superficial é a força dominante são:
Tr=raizLr^3 times rhorsigmar e Vr=raizsigmarLr rhor

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