Mostrar que as relações de tempos e de velocidades quando a tensão superficial é a forga dominante, são:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A questão quer que a gente mostre como as relações de tempos (
) e velocidades (
) são determinadas quando a tensão superficial é a força dominante no sistema. Para isso, vamos precisar das seguintes variáveis:
-
: uma medida de comprimento característico do sistema. -
: a densidade do fluido. -
: a tensão superficial do fluido.
Vamos usar essas variáveis para derivar as fórmulas para
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre tensão superficial. Ela é uma força que atua na interface entre dois fluidos (como água e ar) e tende a minimizar a área dessa interface. Quando a tensão superficial é a força dominante, ela influencia diretamente no comportamento das ondas e na dinâmica do fluido.
Passo 3
Para encontrar a relação do tempo (
), pensamos no equilíbrio entre as forças de tensão superficial e inerciais do fluido. As forças inerciais estão relacionadas com a densidade (
) e a aceleração, que por sua vez está ligada ao tempo.
Matematicamente, podemos igualar a força de tensão superficial
com a força inercial
, onde
é o comprimento característico e
é o tempo que queremos encontrar.
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para
. Primeiro, isolamos
:
Depois, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a relação para a velocidade (
). A velocidade pode ser entendida como a distância percorrida (
) dividida pelo tempo (
):
Usando a expressão que encontramos para
, substituímos:
Passo 6
Simplificando a expressão para
, temos:
Resposta
Assim, mostramos que as relações de tempos e de velocidades quando a tensão superficial é a força dominante são: