Uma placa metálica pequena, delgada, de área A m2, está isolada de um lado e exposta ao sol do outro lado. A placa absorve energia solar a uma taxa de 500 W/m2 e dissipa-se por convecção para o ar ambiente a T infty=300 K, com um coeficiente de transferência de calor convectiva h=20 W /(m 2 ^circ C), e por radiação para radiação envolvente, que se pode admitir um corpo negro a Ts= 280 K. A emissividade da superfície é varepsilon=0,9. Determine a temperatura de equilíbrio da placa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de transferência de calor. A gente tem uma placa metálica que absorve energia solar, e essa energia é dissipada de duas maneiras: por convecção com o ar ambiente e por radiação para o ambiente. Precisamos encontrar a temperatura de equilíbrio da placa. Para isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por convecção e por radiação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia absorvida pela placa. Ela absorve 500 W/m² de energia solar, então a potência absorvida ( Pabsorvida = 500 , W/m^2 times A ) é dada por:
onde é a área da placa.

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia dissipada por convecção. A fórmula para a transferência de calor por convecção ( Qconv = h times A times (Tplaca - Tinfty) ) é:
onde:
  • é o coeficiente de transferência de calor convectiva,
  • é a temperatura do ar ambiente,
  • é a temperatura da placa que queremos encontrar.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a energia dissipada por radiação. A fórmula para a transferência de calor por radiação ( Qrad = varepsilon times sigma times A times (Tplaca^4 - Ts^4) ) para um corpo negro é:
onde:
  • é a emissividade da superfície,
  • é a constante de Stefan-Boltzmann,
  • é a temperatura do ambiente radiante.

Passo 5

No equilíbrio térmico, a potência absorvida é igual à soma das potências dissipada por convecção e por radiação:
Pabsorvida = Qconv + Qrad
Substituindo as expressões:
500 times A = 20 times A times (Tplaca - 300) + 0,9 times 5,67 times 10^-8 times A times (Tplaca^4 - 280^4)

Passo 6

Podemos simplificar eliminando 500 = 20 (Tplaca - 300) + 0,9 times 5,67 times 10^-8 (Tplaca^4 - 280^4) de todos os termos:

Passo 7

Isso resulta em uma equação não linear para 280^4 = 614,656,000 . Vamos resolver numericamente. Primeiro, calculamos 500 = 20 Tplaca - 6000 + 0,9 times 5,67 times 10^-8 Tplaca^4 - 0,9 times 5,67 times 10^-8 times 614,656,000 :
Agora, a equação se torna:

Passo 8

Calculando os termos constantes:
0,9 times 5,67 times 10^-8 times 614,656,000 approx 31.3 , W/m^2
Então:
500 = 20 Tplaca - 6000 + 0,9 times 5,67 times 10^-8 Tplaca^4 - 31.3
Simplificando:
500 + 6000 + 31.3 = 20 Tplaca + 0,9 times 5,67 times 10^-8 Tplaca^4
6531.3 = 20 Tplaca + 5.1 times 10^-8 Tplaca^4

Passo 9

Para resolver essa equação, podemos usar métodos iterativos ou aproximados. Supondo que a contribuição do termo 6531.3 approx 20 Tplaca seja pequena comparada ao outro termo, temos:
Tplaca approx 6531.320 = 326.6 , K

Passo 10

Agora, verificamos a contribuição do termo de radiação:
Qrad = 0,9 times 5,67 times 10^-8 times 326.6^4 approx 0,9 times 5,67 times 10^-8 times 1.129 times 10^10 approx 57 , W/m^2
Então, a equação refinada fica:
6531.3 = 20 Tplaca + 57
20 Tplaca = 6531.3 - 57 = 6474.3
Tplaca = 6474.320 = 323.7 , K

Resposta

A temperatura de equilíbrio da placa é aproximadamente .

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