Usando métodos da análise dimensional, provar que a força centrifuga é igual a
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para provar, usando análise dimensional, que a força centrífuga é igual a
. Aqui,
é a massa,
é a velocidade,
é o raio da trajetória, e
é uma constante adimensional. Vamos usar a análise dimensional, que nos ajuda a entender como as diferentes grandezas físicas estão relacionadas umas com as outras através de suas unidades.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar as grandezas envolvidas na força centrífuga. Sabemos que a força tem a dimensão de massa vezes aceleração (
). Então, vamos escrever as dimensões de cada grandeza envolvida:
- Força (
): - Massa (
): - Velocidade (
): - Raio (
):
Aqui,
representa a dimensão de massa,
de comprimento e
de tempo.
Passo 3
Agora, vamos supor que a força centrífuga
depende de
,
e
de forma que:
Nosso objetivo é encontrar os expoentes
,
e
usando a análise dimensional.
Passo 4
Vamos substituir as dimensões de cada grandeza na equação:
Sabendo que
é adimensional, ou seja,
, temos:
Passo 5
Agora, vamos expandir os termos:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 6
Para que a equação seja válida dimensionalmente, os expoentes das dimensões devem ser iguais dos dois lados. Portanto, podemos igualar os expoentes de cada dimensão:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Resolvendo as equações:
- De
, temos . - De
, substituindo :
E já tínhamos
.
Passo 8
Substituindo os valores de
,
e
na expressão inicial:
Ou seja:
Resposta
Assim, mostramos, por análise dimensional, que a força centrífuga é igual a
.