Usando métodos da análise dimensional, provar que a força centrifuga é igual a K M V^2 / r.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para provar, usando análise dimensional, que a força centrífuga é igual a . Aqui, é a massa, é a velocidade, é o raio da trajetória, e é uma constante adimensional. Vamos usar a análise dimensional, que nos ajuda a entender como as diferentes grandezas físicas estão relacionadas umas com as outras através de suas unidades.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar as grandezas envolvidas na força centrífuga. Sabemos que a força tem a dimensão de massa vezes aceleração ( ). Então, vamos escrever as dimensões de cada grandeza envolvida:
  • Força ( ):
  • Massa ( ):
  • Velocidade ( ):
  • Raio ( ):
Aqui, representa a dimensão de massa, de comprimento e de tempo.

Passo 3

Agora, vamos supor que a força centrífuga F = K M^a V^b r^c depende de , e de forma que:
Nosso objetivo é encontrar os expoentes , e usando a análise dimensional.

Passo 4

Vamos substituir as dimensões de cada grandeza na equação:
[F] = [K] [M]^a [V]^b [r]^c
Sabendo que M L T^-2 = M^a (L T^-1)^b L^c é adimensional, ou seja, , temos:

Passo 5

Agora, vamos expandir os termos:
M L T^-2 = M^a L^b T^-b L^c
Juntando os termos semelhantes:
M L T^-2 = M^a L^b + c T^-b

Passo 6

Para que a equação seja válida dimensionalmente, os expoentes das dimensões devem ser iguais dos dois lados. Portanto, podemos igualar os expoentes de cada dimensão:
  • Para 1 = a :
1 = b + c
  • Para -2 = -b :
  • Para :

Passo 7

Resolvendo as equações:
  • De 1 = 2 + c implies c = -1 , temos .
  • De , substituindo :
E já tínhamos .

Passo 8

Substituindo os valores de F = K M^1 V^2 r^-1 , F = K M V^2r e na expressão inicial:
Ou seja:

Resposta

Assim, mostramos, por análise dimensional, que a força centrífuga é igual a .

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