Usando métodos da análise dimensional, provar que a força centrifuga é igual a .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para provar, usando análise dimensional, que a força centrífuga é igual a . Aqui, é a massa, é a velocidade, é o raio da trajetória, e é uma constante adimensional. Vamos usar a análise dimensional, que nos ajuda a entender como as diferentes grandezas físicas estão relacionadas umas com as outras através de suas unidades.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar as grandezas envolvidas na força centrífuga. Sabemos que a força tem a dimensão de massa vezes aceleração ( ). Então, vamos escrever as dimensões de cada grandeza envolvida:
  • Força ( ):
  • Massa ( ):
  • Velocidade ( ):
  • Raio ( ):
Aqui, representa a dimensão de massa, de comprimento e de tempo.

Passo 3

Agora, vamos supor que a força centrífuga depende de , e de forma que:
Nosso objetivo é encontrar os expoentes , e usando a análise dimensional.

Passo 4

Vamos substituir as dimensões de cada grandeza na equação:
Sabendo que é adimensional, ou seja, , temos:

Passo 5

Agora, vamos expandir os termos:
Juntando os termos semelhantes:

Passo 6

Para que a equação seja válida dimensionalmente, os expoentes das dimensões devem ser iguais dos dois lados. Portanto, podemos igualar os expoentes de cada dimensão:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Resolvendo as equações:
  • De , temos .
  • De , substituindo :
E já tínhamos .

Passo 8

Substituindo os valores de , e na expressão inicial:
Ou seja:

Resposta

Assim, mostramos, por análise dimensional, que a força centrífuga é igual a .

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As duas extremidades de uma haste de cobre em formato de , com de diâmetro, estão rigidamente fixadas em uma parede vertical. A temperatura da parede é mantida a . O comprimento estendido da haste é e ela está exposta ao ar a . O coeficiente combinado de transferência de calor por radiação e convecção é de . a) Calcule a temperatura do ponto médio haste. b) qual será a taxa de transferência de calor a partir da haste?
Desenvolver uma relação para o fator de fricção se este coeficiente depende do diâmetro do tubo , da velocidade média , da massa específica do fluido , da viscosidade do fluido e da rugosidade absoluta do tubo . Use o teorema de Buckingham.
Resp.: .
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