(b) Quantas soluções inteiras positivas existem para a inequação ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte questão: Quantas soluções inteiras positivas existem para a inequação ? Nosso assunto aqui é combinatória, mais especificamente, a técnica conhecida como “Estrelas e Barras”. Vamos precisar entender como contar as diferentes maneiras de distribuir um total menor que 14 em quatro variáveis positivas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a inequação para facilitar nosso trabalho. Como estamos lidando com números inteiros positivos, podemos pensar em . Isso porque se a soma for menor que 14, o máximo que ela pode ser é 13.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o número de soluções inteiras positivas para . Para isso, usamos a técnica de Estrelas e Barras, que nos ajuda a contar as maneiras de distribuir 13 unidades (as “estrelas”) em 4 variáveis (as “barras” dividindo as estrelas).
A fórmula para o número de soluções positivas para é dada por:
onde é uma combinação que calcula quantas maneiras podemos escolher elementos a partir de .

Passo 4

Aplicando essa fórmula à nossa situação, temos:
á
á
Portanto, o número de soluções é:

Passo 5

Calculando a combinação:

Resposta

Existem 715 soluções inteiras positivas para a inequação .

Exercícios relacionados

Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens ( ) e ( ) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
(b) ;
Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens ( ) e ( ) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
(a) ;
© Quantas soluções inteiras não negativas existem para a inequação ?
Observação: números inteiros não negativos são maiores ou iguais a zero, enquanto números inteiros positivos são estritamente maiores que zero.
Mostre que calcular e usando o teorema binomial é moleza. Generalize esses casos e encontre uma fórmula para expressões do tipo .