(b) Quantas soluções inteiras positivas existem para a inequação x+y+z+t<14 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte questão: Quantas soluções inteiras positivas existem para a inequação ? Nosso assunto aqui é combinatória, mais especificamente, a técnica conhecida como “Estrelas e Barras”. Vamos precisar entender como contar as diferentes maneiras de distribuir um total menor que 14 em quatro variáveis positivas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a inequação para facilitar nosso trabalho. Como estamos lidando com números inteiros positivos, podemos pensar em . Isso porque se a soma for menor que 14, o máximo que ela pode ser é 13.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o número de soluções inteiras positivas para binomkn . Para isso, usamos a técnica de Estrelas e Barras, que nos ajuda a contar as maneiras de distribuir 13 unidades (as “estrelas”) em 4 variáveis (as “barras” dividindo as estrelas).
A fórmula para o número de soluções positivas para é dada por:
onde é uma combinação que calcula quantas maneiras podemos escolher elementos a partir de .

Passo 4

Aplicando essa fórmula à nossa situação, temos:
n = 4 (as quatro variáveis: x, y, z, t) á
k = 13 (a soma máxima) á
Portanto, o número de soluções é:
binom134

Passo 5

Calculando a combinação:
binom134 = 13!4!(13-4)! = 13 times 12 times 11 times 104 times 3 times 2 times 1 = 715

Resposta

Existem 715 soluções inteiras positivas para a inequação .

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