(b) Quantas soluções inteiras positivas existem para a inequação
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte questão: Quantas soluções inteiras positivas existem para a inequação
? Nosso assunto aqui é combinatória, mais especificamente, a técnica conhecida como “Estrelas e Barras”. Vamos precisar entender como contar as diferentes maneiras de distribuir um total menor que 14 em quatro variáveis positivas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a inequação
para facilitar nosso trabalho. Como estamos lidando com números inteiros positivos, podemos pensar em
. Isso porque se a soma for menor que 14, o máximo que ela pode ser é 13.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o número de soluções inteiras positivas para
. Para isso, usamos a técnica de Estrelas e Barras, que nos ajuda a contar as maneiras de distribuir 13 unidades (as “estrelas”) em 4 variáveis (as “barras” dividindo as estrelas).
A fórmula para o número de soluções positivas para
é dada por:
onde
é uma combinação que calcula quantas maneiras podemos escolher
elementos a partir de
.
Passo 4
Aplicando essa fórmula à nossa situação, temos:
Portanto, o número de soluções é:
Passo 5
Calculando a combinação:
Resposta
Existem 715 soluções inteiras positivas para a inequação
.
Exercícios relacionados
Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens (
) e (
) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
(b) ;
(b)
Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens (
) e (
) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
(a) ;
(a)
© Quantas soluções inteiras não negativas existem para a inequação
?
Observação: números inteiros não negativos são maiores ou iguais a zero, enquanto números inteiros positivos são estritamente maiores que zero.
Observação: números inteiros não negativos são maiores ou iguais a zero, enquanto números inteiros positivos são estritamente maiores que zero.
Mostre que calcular
e
usando o teorema binomial é moleza. Generalize esses casos e encontre uma fórmula para expressões do tipo
.