Mostre que o coeficiente de dilatação superficial de um material é aproximadamente duas vezes o coeficiente de dilatação linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o coeficiente de dilatação superficial de um material é aproximadamente duas vezes o coeficiente de dilatação linear. Vamos trabalhar com o conteúdo de dilatação térmica, especificamente com os coeficientes de dilatação linear e superficial. Para resolver isso, vamos precisar entender como esses coeficientes se relacionam quando um material se expande em uma ou duas dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o coeficiente de dilatação linear. Ele, geralmente representado por
, indica quanto um material se expande por unidade de comprimento por grau de variação de temperatura. A equação básica para dilatação linear é:
onde
é a variação do comprimento,
é o comprimento inicial e
é a variação de temperatura.
Passo 3
Agora, vamos pensar no coeficiente de dilatação superficial, que vamos chamar de
. Esse coeficiente indica quanto a área de um material se expande por unidade de área por grau de variação de temperatura. A equação para dilatação superficial é:
onde
é a variação da área,
é a área inicial.
Passo 4
Para relacionar
com
, vamos considerar a expansão em duas dimensões independentes. Se um material se expande linearmente com coeficiente
em duas direções perpendiculares, a nova área
será:
Como a variação de temperatura geralmente é pequena, o termo
pode ser desprezado. Então:
Passo 5
Sabendo que
, substituímos na equação da área:
A variação da área
é então:
Passo 6
Comparando com a equação da dilatação superficial
, temos:
Cancelando
dos dois lados:
Resposta
Portanto, mostramos que o coeficiente de dilatação superficial
é aproximadamente duas vezes o coeficiente de dilatação linear
, ou seja:
Exercícios relacionados
A velocidade média quadrática das moléculas de um gás é de
e a pressão a que este se encontra é igual a
.
a) Achar a densidade do gás nestas condições.
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ocupa um volume igual a
. Achar a temperatura do gás considerando que é um gás real.
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. Achar a pressão deste gás considerando que o gás é real: Resolver este problema para o volume
.
1 kmol de anidrido carbônico se encontra à temperatura de
. Achar a pressão deste gás considerando que o gás é real: Resolver este problema para o volume
.