Mostre que o coeficiente de dilatação superficial de um material é aproximadamente duas vezes o coeficiente de dilatação linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o coeficiente de dilatação superficial de um material é aproximadamente duas vezes o coeficiente de dilatação linear. Vamos trabalhar com o conteúdo de dilatação térmica, especificamente com os coeficientes de dilatação linear e superficial. Para resolver isso, vamos precisar entender como esses coeficientes se relacionam quando um material se expande em uma ou duas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o coeficiente de dilatação linear. Ele, geralmente representado por , indica quanto um material se expande por unidade de comprimento por grau de variação de temperatura. A equação básica para dilatação linear é:
onde é a variação do comprimento, é o comprimento inicial e é a variação de temperatura.

Passo 3

Agora, vamos pensar no coeficiente de dilatação superficial, que vamos chamar de . Esse coeficiente indica quanto a área de um material se expande por unidade de área por grau de variação de temperatura. A equação para dilatação superficial é:
onde é a variação da área, é a área inicial.

Passo 4

Para relacionar com , vamos considerar a expansão em duas dimensões independentes. Se um material se expande linearmente com coeficiente em duas direções perpendiculares, a nova área será:
Como a variação de temperatura geralmente é pequena, o termo pode ser desprezado. Então:

Passo 5

Sabendo que , substituímos na equação da área:
A variação da área é então:

Passo 6

Comparando com a equação da dilatação superficial , temos:
Cancelando dos dois lados:

Resposta

Portanto, mostramos que o coeficiente de dilatação superficial é aproximadamente duas vezes o coeficiente de dilatação linear , ou seja:

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