Mostre que é uma autofunção do operador Laplaciano

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Você precisa mostrar que a função é uma autofunção do operador Laplaciano. Isso significa que, quando aplicamos o Laplaciano nessa função, o resultado deve ser a função original multiplicada por uma constante. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o operador Laplaciano e como calcular derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o operador Laplaciano, representado por . Ele é uma combinação das segundas derivadas parciais em relação a cada uma das variáveis espaciais (neste caso, , e ). Matematicamente, é definido como:
Esse operador é muito usado em física e matemática, especialmente em equações que descrevem fenômenos como a difusão de calor ou ondas.

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa ser uma autofunção do Laplaciano. Uma função é uma autofunção do operador Laplaciano se, ao aplicar o Laplaciano nela, o resultado for a função original multiplicada por uma constante . Em outras palavras:
Nosso objetivo é encontrar essa constante para a função dada e confirmar que essa relação é verdadeira.

Passo 4

Vamos aplicar o Laplaciano na função . Isso significa que precisamos calcular as segundas derivadas parciais de em relação a , e , e depois somá-las.
Primeiro, a segunda derivada de em relação a :
Fazendo o mesmo para e :

Passo 5

Agora, somamos essas segundas derivadas para obter o Laplaciano aplicado à função :
Isso mostra que:
Onde .

Resposta

Assim, demonstramos que é uma autofunção do operador Laplaciano com o valor próprio .

Exercícios relacionados

Quais são os quatro requisitos para que uma função de onda seja aceitável?
As forças intermoleculares são responsáveis por várias propriedades físicas e químicas das moléculas, como, por exemplo, a temperatura de fusão. Considere as moléculas de e .
a) Quais as principais forças intermoleculares presentes nessas espécies?
As substâncias dadas pelas suas fórmulas moleculares, e , estão em ordem crescente de seus pontos de ebulição. Explique por que, do ponto de vista estrutural, esses compostos estão nessa ordem.
Quais são as degenerescências dos 4 primeiros níveis de energia para uma partícula na caixa tridimensional com