Mostre que (cos a x)(cos b y)(cos c z) é uma autofunção do operador Laplaciano
nabla^2=partial^2partial x^2+partial^2partial y^2+partial^2partial z^2

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Você precisa mostrar que a função é uma autofunção do operador Laplaciano. Isso significa que, quando aplicamos o Laplaciano nessa função, o resultado deve ser a função original multiplicada por uma constante. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o operador Laplaciano e como calcular derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o operador Laplaciano, representado por nabla^2 = partial^2partial x^2 + partial^2partial y^2 + partial^2partial z^2 . Ele é uma combinação das segundas derivadas parciais em relação a cada uma das variáveis espaciais (neste caso, , e ). Matematicamente, é definido como:
Esse operador é muito usado em física e matemática, especialmente em equações que descrevem fenômenos como a difusão de calor ou ondas.

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa ser uma autofunção do Laplaciano. Uma função nabla^2 f = lambda f é uma autofunção do operador Laplaciano se, ao aplicar o Laplaciano nela, o resultado for a função original multiplicada por uma constante . Em outras palavras:
Nosso objetivo é encontrar essa constante para a função dada e confirmar que essa relação é verdadeira.

Passo 4

Vamos aplicar o Laplaciano na função partial fpartial x = -a sin(a x) cos(b y) cos(c z) . Isso significa que precisamos calcular as segundas derivadas parciais de partial^2 fpartial x^2 = -a^2 cos(a x) cos(b y) cos(c z) em relação a partial^2 fpartial y^2 = -b^2 cos(a x) cos(b y) cos(c z) , partial^2 fpartial z^2 = -c^2 cos(a x) cos(b y) cos(c z) e , e depois somá-las.
Primeiro, a segunda derivada de em relação a :
Fazendo o mesmo para e :

Passo 5

Agora, somamos essas segundas derivadas para obter o Laplaciano aplicado à função nabla^2 f = partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 + partial^2 fpartial z^2 = (-a^2 - b^2 - c^2) cos(a x) cos(b y) cos(c z) :
nabla^2 f = lambda f
Isso mostra que:
Onde .

Resposta

Assim, demonstramos que é uma autofunção do operador Laplaciano com o valor próprio .

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