Mostre que
é uma autofunção do operador Laplaciano
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Você precisa mostrar que a função
é uma autofunção do operador Laplaciano. Isso significa que, quando aplicamos o Laplaciano nessa função, o resultado deve ser a função original multiplicada por uma constante. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o operador Laplaciano e como calcular derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o operador Laplaciano, representado por
. Ele é uma combinação das segundas derivadas parciais em relação a cada uma das variáveis espaciais (neste caso,
,
e
). Matematicamente, é definido como:
Esse operador é muito usado em física e matemática, especialmente em equações que descrevem fenômenos como a difusão de calor ou ondas.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa ser uma autofunção do Laplaciano. Uma função
é uma autofunção do operador Laplaciano se, ao aplicar o Laplaciano nela, o resultado for a função original multiplicada por uma constante
. Em outras palavras:
Nosso objetivo é encontrar essa constante
para a função dada e confirmar que essa relação é verdadeira.
Passo 4
Vamos aplicar o Laplaciano na função
. Isso significa que precisamos calcular as segundas derivadas parciais de
em relação a
,
e
, e depois somá-las.
Primeiro, a segunda derivada de
em relação a
:
Fazendo o mesmo para
e
:
Passo 5
Agora, somamos essas segundas derivadas para obter o Laplaciano aplicado à função
:
Isso mostra que:
Onde
.
Resposta
Assim, demonstramos que
é uma autofunção do operador Laplaciano
com o valor próprio
.