Quais são as degenerescências dos 4 primeiros níveis de energia para uma partícula na caixa tridimensional com

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir as degenerescências dos quatro primeiros níveis de energia de uma partícula numa caixa tridimensional, onde as dimensões da caixa são tais que . Isso está relacionado à mecânica quântica, especificamente ao modelo da partícula na caixa, onde analisamos como os níveis de energia se distribuem dependendo das dimensões da caixa. Para resolver isso, vamos precisar entender como os níveis de energia são calculados e como as diferentes combinações dos números quânticos geram esses níveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular os níveis de energia para uma partícula numa caixa tridimensional. A energia está dada por:
Aqui, , , e são os números quânticos nas direções , e , respectivamente, e é a constante de Planck reduzida.

Passo 3

Como , podemos simplificar a expressão da energia. Vamos definir (continuamos com para facilitar) e, portanto, . Substituindo na fórmula:
Simplificando:

Passo 4

Agora, para encontrar as degenerescências, precisamos identificar diferentes combinações de , , e que resultam na mesma energia . Vamos calcular os primeiros quatro níveis de energia e ver quantas vezes cada energia se repete.

Passo 5

Começamos com os menores números quânticos. Lembrando que , , e são inteiros positivos a partir de 1.
  1. Nível 1: , ,
Essa combinação é única, então a degenerescência é 1.

Passo 6

  1. Nível 2: Vamos considerar combinações onde apenas um dos números quânticos aumenta:
Calculando para ambas:
Ambas as combinações resultam na mesma energia, então a degenerescência é 2.

Passo 7

  1. Nível 3: Agora, consideramos aumentando:
Calculando :
Essa combinação é única, então a degenerescência é 1.

Passo 8

  1. Nível 4: Consideramos combinações onde dois números quânticos aumentam:
Calculando :
Todas essas combinações resultam na mesma energia, então a degenerescência é 3.

Resposta

As degenerescências dos quatro primeiros níveis de energia são:
  1. Nível 1: degenerescência 1
  2. Nível 2: degenerescência 2
  3. Nível 3: degenerescência 1
  4. Nível 4: degenerescência 3

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