Mostre que uma curva lisa está contida numa reta se, e somente se, a curvatura for nula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que uma curva lisa está numa reta se, e somente se, a curvatura dela for zero. Isso envolve os conceitos de geometria diferencial, especificamente sobre curvatura de curvas. Vamos precisar entender o que é uma curva lisa, o que significa estar contida em uma reta, e como a curvatura está relacionada a isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva lisa. Uma curva lisa é aquela que é suave, ou seja, não tem cantos ou quebras. Matematicamente, isso significa que a curva tem derivadas contínuas até uma certa ordem.

Passo 3

Agora, o que significa que a curva está contida em uma reta? Significa que todos os pontos da curva estão alinhados de forma que formam uma linha reta. Em outras palavras, a curva não “curva” para mais de um lado; ela segue uma direção constante.

Passo 4

Vamos falar sobre curvatura. A curvatura de uma curva em um ponto mede o quanto a curva está “curvando” naquele ponto. Se a curvatura for zero em todos os pontos, isso indica que a curva não está curvando em nenhum lugar, ou seja, está seguindo uma linha reta.
A fórmula para a curvatura de uma curva parametrizada por é:
Onde:
  • é a primeira derivada (vetor tangente),
  • é a segunda derivada (vetor de aceleração),
  • denota o produto vetorial.

Passo 5

Vamos primeiro mostrar que se a curva está contida em uma reta, então a curvatura é zero.
Se a curva está em uma reta, a direção da tangente é constante. Isso significa que a segunda derivada é zero, já que não há mudança na direção da tangente.
Substituindo na fórmula da curvatura:
Então, a curvatura é zero.

Passo 6

Agora, vamos mostrar o contrário: se a curvatura é zero, então a curva está contida em uma reta.
Se , então:
O numerador é zero, o que significa que . Isso implica que os vetores e são paralelos.
Se a segunda derivada é paralela à primeira, então a direção da tangente não muda ao longo da curva. Portanto, a curva segue uma linha reta.

Resposta

Concluímos que uma curva lisa está contida numa reta se, e somente se, a sua curvatura for nula.

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