Sejam deriváveis em . Prove que se e forem linearmente dependentes, então o wronskiano de e será identicamente nulo em .

Passo 1

Tá, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que se duas funções e são linearmente dependentes num intervalo , então o Wronskiano delas é sempre zero nesse intervalo. Isso é dentro do conteúdo de Equações Diferenciais e Análise de Dependência Linear. Vamos precisar saber o que significa funções serem linearmente dependentes e como calcular o Wronskiano.

Passo 2

Primeiro, o que significa ser linearmente dependente? Basicamente, se e são linearmente dependentes, uma delas pode ser escrita como múltiplo da outra. Ou seja, existe uma constante tal que .

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular o Wronskiano de duas funções. O Wronskiano é dado por:

Passo 4

Substituindo na fórmula do Wronskiano, ficamos com:

Resposta

Assim, o Wronskiano de e é sempre zero no intervalo , ou seja, para todo em .

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