Sejam deriváveis em . Prove que se e forem linearmente dependentes, então o wronskiano de e será identicamente nulo em .
Passo 1
Tá, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que se duas funções e são linearmente dependentes num intervalo , então o Wronskiano delas é sempre zero nesse intervalo. Isso é dentro do conteúdo de Equações Diferenciais e Análise de Dependência Linear. Vamos precisar saber o que significa funções serem linearmente dependentes e como calcular o Wronskiano.
Passo 2
Primeiro, o que significa ser linearmente dependente? Basicamente, se e são linearmente dependentes, uma delas pode ser escrita como múltiplo da outra. Ou seja, existe uma constante tal que .
Passo 3
Agora, vamos lembrar como calcular o Wronskiano de duas funções. O Wronskiano é dado por:
Passo 4
Substituindo na fórmula do Wronskiano, ficamos com:
Resposta
Assim, o Wronskiano de e é sempre zero no intervalo , ou seja, para todo em .