Determine os vetores velocidade e posição de uma partícula, dadas aceleraçâo, velocidade e posição iniciais
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os vetores velocidade e posição de uma partícula. A gente sabe a aceleração dela, que é , a velocidade inicial
e a posição inicial
. Para resolver isso, vamos usar cálculo, mais precisamente, integrações, porque velocidade é a integral da aceleração e posição é a integral da velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade
. Sabemos que velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. Então, vamos integrar cada componente da aceleração:
Vamos integrar componente por componente:
- Para a primeira componente:
- Para a segunda componente:
- Para a terceira componente:
Como estamos integrando a aceleração para obter a velocidade, os
são constantes de integração que podemos determinar usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes de integração. Sabemos que
. Vamos substituir
nas integrais:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Então, o vetor velocidade fica:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o vetor posição
. Sabemos que posição é a integral da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos integrar cada componente da velocidade:
Vamos integrar componente por componente:
- Para a primeira componente:
- Para a segunda componente:
- Para a terceira componente:
Assim, o vetor posição fica:
Passo 5
Vamos usar a condição inicial
para encontrar as constantes
:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Então, o vetor posição fica:
Resposta
Os vetores velocidade e posição da partícula são:
e