Determine os vetores velocidade e posição de uma partícula, dadas aceleraçâo, velocidade e posição iniciais , e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os vetores velocidade e posição de uma partícula. A gente sabe a aceleração dela, que é , a velocidade inicial e a posição inicial . Para resolver isso, vamos usar cálculo, mais precisamente, integrações, porque velocidade é a integral da aceleração e posição é a integral da velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade . Sabemos que velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. Então, vamos integrar cada componente da aceleração:
Vamos integrar componente por componente:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Para a terceira componente:
Como estamos integrando a aceleração para obter a velocidade, os são constantes de integração que podemos determinar usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes de integração. Sabemos que . Vamos substituir nas integrais:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Então, o vetor velocidade fica:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o vetor posição . Sabemos que posição é a integral da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos integrar cada componente da velocidade:
Vamos integrar componente por componente:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Para a terceira componente:
Assim, o vetor posição fica:
Passo 5
Vamos usar a condição inicial para encontrar as constantes :