2,0 Determine os vetores velocidade e posição de uma partícula, dadas aceleraçâo, velocidade e posição iniciais a(t) = (2t, sen(3t), cos(2t)), v(0) = (1), 0,0 e vec(r)(0) = (0, 1, 0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os vetores velocidade e posição de uma partícula. A gente sabe a aceleração dela, que é , a velocidade inicial e a posição inicial . Para resolver isso, vamos usar cálculo, mais precisamente, integrações, porque velocidade é a integral da aceleração e posição é a integral da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade . Sabemos que velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. Então, vamos integrar cada componente da aceleração:
Vamos integrar componente por componente:
  • Para a primeira componente:
  • Para a segunda componente:
  • Para a terceira componente:
Como estamos integrando a aceleração para obter a velocidade, os são constantes de integração que podemos determinar usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes de integração. Sabemos que . Vamos substituir nas integrais:
  • Primeira componente:
  • Segunda componente:
  • Terceira componente:
Então, o vetor velocidade fica:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor posição . Sabemos que posição é a integral da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos integrar cada componente da velocidade:
Vamos integrar componente por componente:
  • Para a primeira componente:
  • Para a segunda componente:
  • Para a terceira componente:
Assim, o vetor posição fica:

Passo 5

Vamos usar a condição inicial para encontrar as constantes :
  • Primeira componente:
  • Segunda componente:
  • Terceira componente:
Então, o vetor posição fica:

Resposta

Os vetores velocidade e posição da partícula são:
e

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