Mostre que a curva y = raiz(x^2 + 4) tem duas assíntotas oblíquas: y = x + 2 e y = -x - 2. Use fato para esboçar a curva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a curva tem duas assíntotas oblíquas, que são e . Vamos usar conceitos de cálculo e análise de funções para resolver isso. Precisaremos entender o que são assíntotas oblíquas e como encontrar elas para uma função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são assíntotas oblíquas. São linhas retas que a curva se aproxima indefinidamente à medida que tende ao infinito positivo ou negativo, mas não são paralelas ao eixo . Para encontrar essas assíntotas, a gente observa o comportamento da função quando vai para e .

Passo 3

Vamos começar analisando o comportamento da função quando tende a . Podemos simplificar a expressão dentro da raiz:
Como está indo para , . Então:

Passo 4

Agora, vamos expandir usando a série de Taylor para quando é pequena:
Aqui, , que é bem pequeno quando é grande. Então:
Substituindo de volta:
À medida que vai para , o termo vai para zero. Então, a assíntota oblíqua para positivo é:

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento quando tende a . Novamente, começamos com:
Mas agora, está indo para , então . Assim:
Usando a mesma aproximação da série de Taylor:
Então:
Quando vai para , também vai para zero. Portanto, a assíntota oblíqua para negativo é:

Passo 6

Agora que identificamos as duas assíntotas oblíquas e , podemos esboçar a curva sabendo que ela se aproxima dessas retas conforme cresce em magnitude positiva e negativa.

Resposta

A curva possui duas assíntotas oblíquas: e .

Exercícios relacionados

Nos exercícios abaixo, esboce o gráfico da função, especificando o domínio, a imagem e, quando possível, a parideade (par ou ímpar). f(x) = { 4 + raiz(25 - x^2) se -5 <= x <= 5; 4 se x < -5 ou x > 5 }
Nos exercícios abaixo, resolva para x e represente a solução na reta numérica. |3 + 2 x| <= 2
Esboce o gráfico das seguintes funções
e) y = x tan(x) ; -pi/2 < x < pi/2
Encontre o limite. Use a Regra de Li) lim x 0 x 3^x 3^x-1