Mostre que a curva
tem duas assíntotas oblíquas:
e
. Use fato para esboçar a curva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a curva
tem duas assíntotas oblíquas, que são
e
. Vamos usar conceitos de cálculo e análise de funções para resolver isso. Precisaremos entender o que são assíntotas oblíquas e como encontrar elas para uma função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são assíntotas oblíquas. São linhas retas que a curva se aproxima indefinidamente à medida que
tende ao infinito positivo ou negativo, mas não são paralelas ao eixo
. Para encontrar essas assíntotas, a gente observa o comportamento da função quando
vai para
e
.
Passo 3
Vamos começar analisando o comportamento da função
quando
tende a
. Podemos simplificar a expressão dentro da raiz:
Como
está indo para
,
. Então:
Passo 4
Agora, vamos expandir
usando a série de Taylor para
quando
é pequena:
Aqui,
, que é bem pequeno quando
é grande. Então:
Substituindo de volta:
À medida que
vai para
, o termo
vai para zero. Então, a assíntota oblíqua para
positivo é:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento quando
tende a
. Novamente, começamos com:
Mas agora,
está indo para
, então
. Assim:
Usando a mesma aproximação da série de Taylor:
Então:
Quando
vai para
,
também vai para zero. Portanto, a assíntota oblíqua para
negativo é:
Passo 6
Agora que identificamos as duas assíntotas oblíquas
e
, podemos esboçar a curva
sabendo que ela se aproxima dessas retas conforme
cresce em magnitude positiva e negativa.
Resposta
A curva
possui duas assíntotas oblíquas:
e
.
Exercícios relacionados
Nos exercícios abaixo, esboce o gráfico da função, especificando o domínio, a imagem e, quando possível, a parideade (par ou ímpar).
Nos exercícios abaixo, resolva para
e represente a solução na reta numérica.
Esboce o gráfico das seguintes funções
e)
e)
Encontre o limite. Use a Regra de Li)