Encontre o limite. Use a Regra de Li) lim x 0 x 3^x 3^x-1

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos precisar. O enunciado pede para encontrar o limite de . Para resolver isso, vamos utilizar o Cálculo de Limites e, especificamente, a Regra de L’Hospital, que é útil quando temos uma indeterminação do tipo ou .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se realmente temos uma indeterminação do tipo substituindo na expressão:
  • Numerador: quando fica .
  • Denominador: quando fica .
Como ambas as partes resultam em 0, temos uma indeterminação do tipo , e a Regra de L’Hospital pode ser aplicada.

Passo 3

A Regra de L’Hospital diz que se f'(x) = 1 cdot 3^x + x cdot 3^x ln 3 = 3^x(1 + x ln 3) resulta em g'(x) = 3^x ln 3 - 0 = 3^x ln 3 ou , então esse limite é igual a , desde que este último exista.
Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:
  • Derivada do numerador :
    Utilizamos a regra do produto:
  • Derivada do denominador :

Passo 4

Agora aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo as derivadas no limite:
lim x 0 3^x(1 + x ln 3)3^x ln 3
Podemos simplificar lim x 0 1 + x ln 3ln 3 no numerador e no denominador:

Passo 5

Agora é só substituir 1 + 0 cdot ln 3ln 3 = 1ln 3 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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