Mostre que a distância mais curta entre dois pontos no espaço tridimensional é uma linha reta.
Passo 1
Então, o que a gente precisa fazer aqui é mostrar que a menor distância entre dois pontos no espaço tridimensional é uma linha reta. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial e o cálculo de distâncias entre pontos. Vamos precisar entender como calcular a distância entre dois pontos no espaço e por que, entre todas as possíveis curvas, a linha reta é a mais curta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional. Se temos dois pontos,
e
, a distância
entre eles é dada pela fórmula:
Essa fórmula é uma extensão do teorema de Pitágoras para três dimensões.
Passo 3
Agora, vamos considerar qualquer outro caminho que vá de
a
que não seja uma linha reta. Esse caminho pode ser curvo e vai passar por uma série de pontos intermediários. Vamos denominar esse percurso como uma curva
que conecta
e
.
Passo 4
Para calcular o comprimento de uma curva no espaço, usamos o conceito de integração. O comprimento
da curva
pode ser calculado pela integral:
onde
é um parâmetro que descreve a trajetória da curva.
Passo 5
A comparação entre o comprimento da curva
e a distância direta
envolve mostrar que a integral acima sempre será maior ou igual a
. Isso acontece porque qualquer desvio da linha reta introduz termos adicionais dentro da raiz quadrada, aumentando o valor da integral.
Matematicamente, a desigualdade triangular no espaço tridimensional garante que a soma das distâncias em qualquer caminho curvo será sempre maior ou igual à distância direta entre os pontos.
Resposta
Portanto, mostramos que a distância mais curta entre dois pontos no espaço tridimensional é realmente uma linha reta, já que qualquer outro caminho resulta em uma distância maior.