Mostre que a distância mais curta entre dois pontos no espaço tridimensional é uma linha reta.

Passo 1

Então, o que a gente precisa fazer aqui é mostrar que a menor distância entre dois pontos no espaço tridimensional é uma linha reta. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial e o cálculo de distâncias entre pontos. Vamos precisar entender como calcular a distância entre dois pontos no espaço e por que, entre todas as possíveis curvas, a linha reta é a mais curta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional. Se temos dois pontos, d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 e , a distância entre eles é dada pela fórmula:
Essa fórmula é uma extensão do teorema de Pitágoras para três dimensões.

Passo 3

Agora, vamos considerar qualquer outro caminho que vá de a que não seja uma linha reta. Esse caminho pode ser curvo e vai passar por uma série de pontos intermediários. Vamos denominar esse percurso como uma curva que conecta e .

Passo 4

Para calcular o comprimento de uma curva no espaço, usamos o conceito de integração. O comprimento L = integralA^B raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt da curva pode ser calculado pela integral:
onde é um parâmetro que descreve a trajetória da curva.

Passo 5

A comparação entre o comprimento da curva e a distância direta envolve mostrar que a integral acima sempre será maior ou igual a . Isso acontece porque qualquer desvio da linha reta introduz termos adicionais dentro da raiz quadrada, aumentando o valor da integral.
Matematicamente, a desigualdade triangular no espaço tridimensional garante que a soma das distâncias em qualquer caminho curvo será sempre maior ou igual à distância direta entre os pontos.

Resposta

Portanto, mostramos que a distância mais curta entre dois pontos no espaço tridimensional é realmente uma linha reta, já que qualquer outro caminho resulta em uma distância maior.

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