Um colega estudante com queda para a matemática lhe diz que a função de onda de uma onda progressiva em uma corda fina é y(x, t)=2,30 mm cos [(6,98 rad / m) x+(742 rad / s) t]. Sendo mais prático, você mede a corda para que ela tenha um comprimento de 1,35 m e uma massa de 0,00338 kg. Pede-se então que você calcule: a) amplitude; b) frequência; c) comprimento de onda; d) velocidade da onda; e) sentido em que a onda se desloca; f) tensão da corda; g) potência média transmitida pela onda.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta fala sobre a função de onda de uma onda que se propaga em uma corda fina. Precisamos calcular várias propriedades dessa onda, como amplitude, frequência, comprimento de onda, velocidade, direção de propagação, tensão na corda e a potência média que a onda transmite. Para isso, vamos usar conceitos de ondas mecânicas, como a função de onda, frequência angular, comprimento de onda, velocidade da onda, e equações relacionadas à tensão e potência em ondas.

Passo 2

a) Amplitude
A amplitude de uma onda é o valor máximo que a função de onda alcança em relação à posição de equilíbrio. Na função dada:
y(x, t) = 2,30, mm cdot cos[(6,98, rad/m)x + (742, rad/s)t]
A amplitude A = 2,30, mm é o coeficiente que multiplica o cosseno, então:

Passo 3

b) Frequência
A frequência omega = 2pi f está relacionada à frequência angular f = omega2pi = 7422pi approx 118, Hz pela fórmula:
Da função dada, vemos que . Então, isolando :

Passo 4

c) Comprimento de onda
O comprimento de onda k = 2pilambda está relacionado ao número de onda lambda = 2pik = 2pi6,98 approx 0,900, m pela fórmula:
Da função dada, . Isolando :

Passo 5

d) Velocidade da onda
A velocidade da onda v = lambda f pode ser calculada usando a relação:
v = 0,900, m times 118, Hz approx 106, m/s
Já calculamos e , então:

Passo 6

e) Sentido em que a onda se desloca
A direção de propagação da onda depende do sinal no argumento do cosseno na função de onda y(x, t) = A cos(kx + omega t) . A função dada é:
Como o termo tem sinal positivo, a onda se propaga no sentido negativo do eixo .

Passo 7

f) Tensão da corda
A tensão v = raizTmu na corda pode ser calculada usando a relação entre velocidade da onda, massa linear mu = mL = 0,00338, kg1,35, m approx 0,002506, kg/m e tensão:
T = mu v^2 = 0,002506, kg/m times (106, m/s)^2 approx 28,1, N
Primeiro, calculamos a massa linear :
Rearranjando a fórmula para :

Passo 8

g) Potência média transmitida pela onda
A potência média P = 12 mu omega^2 A^2 v transmitida por uma onda em uma corda é dada por:
P = 12 times 0,002506, kg/m times (742, rad/s)^2 times (0,00230, m)^2 times 106, m/s
Substituindo os valores:
P approx 12 times 0,002506 times 550,564 times 5,29 times 10^-6 times 106 approx 0,077, W
Calculando passo a passo:
  1. Multiplicando tudo:

Resposta

a) Amplitude:
b) Frequência:
c) Comprimento de onda:
d) Velocidade da onda:
e) Sentido de propagação: sentido negativo do eixo
f) Tensão da corda:
g) Potência média transmitida:

Exercícios relacionados