Um colega estudante com queda para a matemática lhe diz que a função de onda de uma onda progressiva em uma corda fina é
. Sendo mais prático, você mede a corda para que ela tenha um comprimento de
e uma massa de
. Pede-se então que você calcule: a) amplitude; b) frequência; c) comprimento de onda; d) velocidade da onda; e) sentido em que a onda se desloca; f) tensão da corda; g) potência média transmitida pela onda.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta fala sobre a função de onda de uma onda que se propaga em uma corda fina. Precisamos calcular várias propriedades dessa onda, como amplitude, frequência, comprimento de onda, velocidade, direção de propagação, tensão na corda e a potência média que a onda transmite. Para isso, vamos usar conceitos de ondas mecânicas, como a função de onda, frequência angular, comprimento de onda, velocidade da onda, e equações relacionadas à tensão e potência em ondas.
Passo 2
a) Amplitude
A amplitude de uma onda é o valor máximo que a função de onda alcança em relação à posição de equilíbrio. Na função dada:
A amplitude
é o coeficiente que multiplica o cosseno, então:
Passo 3
b) Frequência
A frequência
está relacionada à frequência angular
pela fórmula:
Da função dada, vemos que
. Então, isolando
:
Passo 4
c) Comprimento de onda
O comprimento de onda
está relacionado ao número de onda
pela fórmula:
Da função dada,
. Isolando
:
Passo 5
d) Velocidade da onda
A velocidade da onda
pode ser calculada usando a relação:
Já calculamos
e
, então:
Passo 6
e) Sentido em que a onda se desloca
A direção de propagação da onda depende do sinal no argumento do cosseno na função de onda
. A função dada é:
Como o termo
tem sinal positivo, a onda se propaga no sentido negativo do eixo
.
Passo 7
f) Tensão da corda
A tensão
na corda pode ser calculada usando a relação entre velocidade da onda, massa linear
e tensão:
Primeiro, calculamos a massa linear
:
Rearranjando a fórmula para
:
Passo 8
g) Potência média transmitida pela onda
A potência média
transmitida por uma onda em uma corda é dada por:
Substituindo os valores:
Calculando passo a passo:
-
-
- Multiplicando tudo:
Resposta
a) Amplitude:
b) Frequência:
c) Comprimento de onda:
d) Velocidade da onda:
e) Sentido de propagação: sentido negativo do eixo
f) Tensão da corda:
g) Potência média transmitida: