Mostre que a distância mais curta entre dois pontos em um plano é uma linha reta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a distância mais curta entre dois pontos no plano é uma linha reta. Isso é um conceito de geometria, especialmente da geometria euclidiana. Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula da distância entre dois pontos e usar o princípio da desigualdade triangular.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar dois pontos qualquer no plano, digamos e . A fórmula para calcular a distância entre esses dois pontos é dada por:
Essa fórmula vem do teorema de Pitágoras, que relaciona os lados de um triângulo retângulo.

Passo 3

Agora, imagina que a gente escolha outro caminho para ir de até . Esse caminho pode ser uma curva qualquer. A ideia é mostrar que qualquer caminho diferente da linha reta vai ter uma distância maior.

Passo 4

Para isso, vamos usar a desigualdade triangular, que basicamente diz que em qualquer triângulo, a soma de dois lados é sempre maior que o terceiro lado. Aplicando isso ao nosso caso, se a gente fizer um caminho que não é reto, estamos basicamente formando um triângulo com esse caminho e a linha reta. Segundo a desigualdade triangular:
Ou seja, o caminho curvo sempre será mais longo que a linha reta.

Resposta

Portanto, demonstramos que a distância mais curta entre dois pontos no plano é realmente uma linha reta.

Exercícios relacionados

Mostre que a distância mais curta entre dois pontos no espaço tridimensional é uma linha reta.
Circuitos RC, RL, LC e RLC são tipos de circuitos com comportamentos bem particulares. Enquanto nos dois primeiros a corrente elétrica varia exponencialmente no tempo; nos dois últimos, a corrente oscila com frequência e amplitude constantes.
Quando um indutor está em um circuito de corrente alternada, cujo comportamento é do tipo , onde é a amplitude da corrente e a intensidade da corrente elétrica no indutor, esta corrente encontra uma a. essa b. essa c. a reatância indutiva depende apenas de características do indutor. Tomemos o caso de um solenoide, que é um exemplo de indutor e gera um campo variável, em seu interior, quando em um circuito CA. Neste caso, verificamos que a sua indutância por unidade de comprimento é dado por , ou seja, depende apenas da sua geometria, o que faz com que reatância indutiva, promovida por ele ao circuito, também se comporte assim.
d. Em qualquer circuito CA com indutor, quanto maior for o período de oscilação da corrente elétrica, maior será a reatância indutiva do indutor, diferentemente do que acontece com a reatância capacitiva de um capacitor cujo valor, em qualquer circuito CA , que é diretamente proporcional ao período de oscilação da corrente alternada.
e. n.d.a
Considere a luz passando de um meio com índice de refração para outro meio com índice de refração . Utilize o princípio de Fermat para minimizar o tempo e derive a lei da refração: