Mostre que a distância mais curta entre dois pontos em um plano é uma linha reta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a distância mais curta entre dois pontos no plano é uma linha reta. Isso é um conceito de geometria, especialmente da geometria euclidiana. Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula da distância entre dois pontos e usar o princípio da desigualdade triangular.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar dois pontos qualquer no plano, digamos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e . A fórmula para calcular a distância entre esses dois pontos é dada por:
Essa fórmula vem do teorema de Pitágoras, que relaciona os lados de um triângulo retângulo.

Passo 3

Agora, imagina que a gente escolha outro caminho para ir de até . Esse caminho pode ser uma curva qualquer. A ideia é mostrar que qualquer caminho diferente da linha reta vai ter uma distância maior.

Passo 4

Para isso, vamos usar a desigualdade triangular, que basicamente diz que em qualquer triângulo, a soma de dois lados é sempre maior que o terceiro lado. Aplicando isso ao nosso caso, se a gente fizer um caminho que não é reto, estamos basicamente formando um triângulo com esse caminho e a linha reta. Segundo a desigualdade triangular:
Caminho Curvo > Linha Reta
Ou seja, o caminho curvo sempre será mais longo que a linha reta.

Resposta

Portanto, demonstramos que a distância mais curta entre dois pontos no plano é realmente uma linha reta.

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