Considere a luz passando de um meio com índice de refração para outro meio com índice de refração . Utilize o princípio de Fermat para minimizar o tempo e derive a lei da refração:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a luz passando de um meio com índice de refração para outro meio com índice de refração . A gente precisa usar o princípio de Fermat, que basicamente diz que a luz sempre segue o caminho que leva o menor tempo para viajar. Com isso, vamos derivar a famosa lei da refração: .

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar a situação: temos dois meios diferentes, como ar e água, com índices de refração e . A luz parte de um ponto no primeiro meio e chega num ponto no segundo meio. O que queremos é descobrir por qual ponto na interface entre os meios a luz deve passar para minimizar o tempo de viagem.

Passo 3

Vamos usar coordenadas para facilitar. Suponha que a interface entre os meios seja o eixo . Vamos dizer que o ponto está em e o ponto está em . O ponto na interface será .

Passo 4

O tempo que a luz leva para ir de a e depois de a depende das distâncias e dos índices de refração. A distância de a é e de a é .

Passo 5

Sabemos que a velocidade da luz em cada meio é , onde é a velocidade da luz no vácuo. Então, o tempo total é:

Passo 6

Para minimizar o tempo, vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Isso nos dá:

Passo 7

Agora, vamos relacionar isso com os ângulos de incidência e refração. O ângulo de incidência é aquele entre o raio que vem de e a normal à interface, e o ângulo de refração é entre o raio que vai para e a normal.

Passo 8

Usando trigonometria, temos:

Passo 9

Substituindo essas expressões na equação do Passo 6, fica:

Resposta

Derivamos que , que é a lei da refração.

Exercícios relacionados

Quando um indutor está em um circuito de corrente alternada, cujo comportamento é do tipo , onde é a amplitude da corrente e a intensidade da corrente elétrica no indutor, esta corrente encontra uma a. essa b. essa c. a reatância indutiva depende apenas de características do indutor. Tomemos o caso de um solenoide, que é um exemplo de indutor e gera um campo variável, em seu interior, quando em um circuito CA. Neste caso, verificamos que a sua indutância por unidade de comprimento é dado por , ou seja, depende apenas da sua geometria, o que faz com que reatância indutiva, promovida por ele ao circuito, também se comporte assim.
d. Em qualquer circuito CA com indutor, quanto maior for o período de oscilação da corrente elétrica, maior será a reatância indutiva do indutor, diferentemente do que acontece com a reatância capacitiva de um capacitor cujo valor, em qualquer circuito CA , que é diretamente proporcional ao período de oscilação da corrente alternada.
e. n.d.a
Mostre que a distância mais curta entre dois pontos em um plano é uma linha reta.
Quando estão conectados isoladamente a uma fonte de corrente contínua (CC) ou de corrente alternada (CA), indutor e capacitor agem de maneira inversa entre si. Assim que o circuito de CA com um capacitor é acionado, a corrente consegue passar livremente por ele; o que não acontece, quando ele está conectado à ddp de uma fonte de corrente contínua. No caso do indutor, ocorre o inverso: assim que ele é conectado a uma fonte de corrente contínua, a corrente passa normalmente sem encontrar resistência; todavia, após um período de tempo, ocorre um curto circuito, pois a ddp entre os pontos de entrada e saída da corrente no circuito é zero.
Mostre que a equação de Euler pode ser escrita na forma:
.
Quando não depende explicitamente de , mostre que:
constante.
Dica: comece calculando a derivada total .