Considere a luz passando de um meio com índice de refração
para outro meio com índice de refração
. Utilize o princípio de Fermat para minimizar o tempo e derive a lei da refração:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a luz passando de um meio com índice de refração
para outro meio com índice de refração
. A gente precisa usar o princípio de Fermat, que basicamente diz que a luz sempre segue o caminho que leva o menor tempo para viajar. Com isso, vamos derivar a famosa lei da refração:
.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar a situação: temos dois meios diferentes, como ar e água, com índices de refração
e
. A luz parte de um ponto
no primeiro meio e chega num ponto
no segundo meio. O que queremos é descobrir por qual ponto
na interface entre os meios a luz deve passar para minimizar o tempo de viagem.
Passo 3
Vamos usar coordenadas para facilitar. Suponha que a interface entre os meios seja o eixo
. Vamos dizer que o ponto
está em
e o ponto
está em
. O ponto
na interface será
.
Passo 4
O tempo que a luz leva para ir de
a
e depois de
a
depende das distâncias e dos índices de refração. A distância de
a
é
e de
a
é
.
Passo 5
Sabemos que a velocidade da luz em cada meio é
, onde
é a velocidade da luz no vácuo. Então, o tempo total
é:
Passo 6
Para minimizar o tempo, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Isso nos dá:
Passo 7
Agora, vamos relacionar isso com os ângulos de incidência e refração. O ângulo de incidência
é aquele entre o raio que vem de
e a normal à interface, e o ângulo de refração
é entre o raio que vai para
e a normal.
Passo 8
Usando trigonometria, temos:
Passo 9
Substituindo essas expressões na equação do Passo 6, fica:
Resposta
Derivamos que
, que é a lei da refração.
Exercícios relacionados
Quando um indutor está em um circuito de corrente alternada, cujo comportamento é do tipo
, onde
é a amplitude da corrente e
a intensidade da corrente elétrica no indutor, esta corrente encontra uma a. essa b. essa c. a reatância indutiva
depende apenas de características do indutor. Tomemos o caso de um solenoide, que é um exemplo de indutor e gera um campo variável, em seu interior, quando em um circuito CA. Neste caso, verificamos que a sua indutância por unidade de comprimento é dado por
, ou seja, depende apenas da sua geometria, o que faz com que reatância indutiva, promovida por ele ao circuito, também se comporte assim.
d. Em qualquer circuito CA com indutor, quanto maior for o período de oscilação da corrente elétrica, maior será a reatância indutiva do indutor, diferentemente do que acontece com a reatância capacitiva de um capacitor cujo valor, em qualquer circuito CA , que é diretamente proporcional ao período de oscilação da corrente alternada.
e. n.d.a
d. Em qualquer circuito CA com indutor, quanto maior for o período de oscilação da corrente elétrica, maior será a reatância indutiva do indutor, diferentemente do que acontece com a reatância capacitiva
e. n.d.a
Mostre que a distância mais curta entre dois pontos em um plano é uma linha reta.
Quando estão conectados isoladamente a uma fonte de corrente contínua (CC) ou de corrente alternada (CA), indutor e capacitor agem de maneira inversa entre si. Assim que o circuito de CA com um capacitor é acionado, a corrente consegue passar livremente por ele; o que não acontece, quando ele está conectado à ddp de uma fonte de corrente contínua. No caso do indutor, ocorre o inverso: assim que ele é conectado a uma fonte de corrente contínua, a corrente passa normalmente sem encontrar resistência; todavia, após um período de tempo, ocorre um curto circuito, pois a ddp entre os pontos de entrada e saída da corrente no circuito é zero.
Mostre que a equação de Euler pode ser escrita na forma:
.
Quando não depende explicitamente de
, mostre que:
constante.
Dica: comece calculando a derivada total .
Quando
Dica: comece calculando a derivada total