Considere a luz passando de um meio com índice de refração
para outro meio com índice de refração
. Utilize o princípio de Fermat para minimizar o tempo e derive a lei da refração:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a luz passando de um meio com índice de refração
para outro meio com índice de refração
. A gente precisa usar o princípio de Fermat, que basicamente diz que a luz sempre segue o caminho que leva o menor tempo para viajar. Com isso, vamos derivar a famosa lei da refração:
.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar a situação: temos dois meios diferentes, como ar e água, com índices de refração
e
. A luz parte de um ponto
no primeiro meio e chega num ponto
no segundo meio. O que queremos é descobrir por qual ponto
na interface entre os meios a luz deve passar para minimizar o tempo de viagem.
Passo 3
Vamos usar coordenadas para facilitar. Suponha que a interface entre os meios seja o eixo
. Vamos dizer que o ponto
está em
e o ponto
está em
. O ponto
na interface será
.
Passo 4
O tempo que a luz leva para ir de
a
e depois de
a
depende das distâncias e dos índices de refração. A distância de
a
é
e de
a
é
.
Passo 5
Sabemos que a velocidade da luz em cada meio é
, onde
é a velocidade da luz no vácuo. Então, o tempo total
é:
Passo 6
Para minimizar o tempo, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Isso nos dá:
Passo 7
Agora, vamos relacionar isso com os ângulos de incidência e refração. O ângulo de incidência
é aquele entre o raio que vem de
e a normal à interface, e o ângulo de refração
é entre o raio que vai para
e a normal.
Passo 8
Usando trigonometria, temos:
Passo 9
Substituindo essas expressões na equação do Passo 6, fica:
Resposta
Derivamos que
, que é a lei da refração.