Considere a luz passando de um meio com índice de refração n1 para outro meio com índice de refração n2. Utilize o princípio de Fermat para minimizar o tempo e derive a lei da refração: n1 sin theta1=n2 sin theta2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a luz passando de um meio com índice de refração para outro meio com índice de refração . A gente precisa usar o princípio de Fermat, que basicamente diz que a luz sempre segue o caminho que leva o menor tempo para viajar. Com isso, vamos derivar a famosa lei da refração: .

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar a situação: temos dois meios diferentes, como ar e água, com índices de refração e . A luz parte de um ponto no primeiro meio e chega num ponto no segundo meio. O que queremos é descobrir por qual ponto na interface entre os meios a luz deve passar para minimizar o tempo de viagem.

Passo 3

Vamos usar coordenadas para facilitar. Suponha que a interface entre os meios seja o eixo . Vamos dizer que o ponto está em e o ponto está em . O ponto na interface será .

Passo 4

O tempo que a luz leva para ir de a e depois de a depende das distâncias e dos índices de refração. A distância de a é e de a é .

Passo 5

Sabemos que a velocidade da luz em cada meio é T = raizx^2 + y1^2v1 + raiz(d - x)^2 + y2^2v2 = n1 raizx^2 + y1^2 + n2 raiz(d - x)^2 + y2^2 , onde é a velocidade da luz no vácuo. Então, o tempo total é:

Passo 6

Para minimizar o tempo, vamos derivar dTdx = n1 xraizx^2 + y1^2 - n2 (d - x)raiz(d - x)^2 + y2^2 = 0 em relação a n1 xraizx^2 + y1^2 = n2 (d - x)raiz(d - x)^2 + y2^2 e igualar a zero:
Isso nos dá:

Passo 7

Agora, vamos relacionar isso com os ângulos de incidência e refração. O ângulo de incidência é aquele entre o raio que vem de e a normal à interface, e o ângulo de refração é entre o raio que vai para e a normal.

Passo 8

Usando trigonometria, temos:
sin theta1 = xraizx^2 + y1^2 e sin theta2 = d - xraiz(d - x)^2 + y2^2

Passo 9

Substituindo essas expressões na equação do Passo 6, fica:
n1 sin theta1 = n2 sin theta2

Resposta

Derivamos que , que é a lei da refração.

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