Mostre que se a equação x^3-a x^2+b x-c=0, na qual a, b e c são números positivos e possuem três raízes reias, então a^6 >= 27 b^3 >= 729 c^2.

Passo 1

Então, a gente tem a equação cúbica , onde , e são números positivos e existem três raízes reais para essa equação. Nosso objetivo aqui é mostrar que . Para resolver isso, vamos usar a fórmula de Vieta, que relaciona os coeficientes da equação às suas raízes, além de aplicar algumas desigualdades básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de Vieta para uma equação cúbica. Se as raízes da equação alpha + beta + gamma = a são alpha beta + alpha gamma + beta gamma = b , alpha beta gamma = c e , então temos:
Essas relações vão nos ajudar a conectar os coeficientes , e com as raízes da equação.

Passo 3

Agora, para provar as desigualdades (alpha + beta + gamma)^6 >= 27 (alpha beta + alpha gamma + beta gamma)^3 e , vamos utilizar a Desigualdade de Cauchy-Schwarz e a Desigualdade de AM-GM.
Primeiro, consideremos a desigualdade .
Sabemos que:
Essa desigualdade pode ser derivada aplicando a AM-GM, que nos diz que a média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica para números positivos.

Passo 4

Vamos aplicar a Desigualdade de AM-GM aos termos alpha + beta + gamma3 >= raiz[3]alpha beta gamma , ( a3 )^6 >= (raiz[3]c)^6 implies a^6729 >= c^2 e a^6 >= 729 c^2 :
Elevando ambos os lados ao sexto poder:
Multiplicando ambos os lados por 729:

Passo 5

Agora, vamos relacionar a^6 >= 27 times 27 c^2 >= 27 b^3 .
Sabendo que a^6 >= 27 b^3 >= 729 c^2 e que queremos provar , podemos reescrever 729 como , então temos:
Isso implica que:

Resposta

Portanto, mostramos que para a equação com , e positivos e três raízes reais, é válido que .

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