Mostre que se a equação
, na qual
e
são números positivos e possuem três raízes reias, então
.
Passo 1
Então, a gente tem a equação cúbica
, onde
,
e
são números positivos e existem três raízes reais para essa equação. Nosso objetivo aqui é mostrar que
. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de Vieta, que relaciona os coeficientes da equação às suas raízes, além de aplicar algumas desigualdades básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula de Vieta para uma equação cúbica. Se as raízes da equação
são
,
e
, então temos:
Essas relações vão nos ajudar a conectar os coeficientes
,
e
com as raízes da equação.
Passo 3
Agora, para provar as desigualdades
e
, vamos utilizar a Desigualdade de Cauchy-Schwarz e a Desigualdade de AM-GM.
Primeiro, consideremos a desigualdade
.
Sabemos que:
Essa desigualdade pode ser derivada aplicando a AM-GM, que nos diz que a média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica para números positivos.
Passo 4
Vamos aplicar a Desigualdade de AM-GM aos termos
,
e
:
Elevando ambos os lados ao sexto poder:
Multiplicando ambos os lados por 729:
Passo 5
Agora, vamos relacionar
.
Sabendo que
e que queremos provar
, podemos reescrever 729 como
, então temos:
Isso implica que:
Resposta
Portanto, mostramos que para a equação
com
,
e
positivos e três raízes reais, é válido que
.