Mostre que se a equação
, na qual
e
são números positivos e possuem três raízes reias, então
.
Passo 1
Então, a gente tem a equação cúbica
, onde
,
e
são números positivos e existem três raízes reais para essa equação. Nosso objetivo aqui é mostrar que
. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de Vieta, que relaciona os coeficientes da equação às suas raízes, além de aplicar algumas desigualdades básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula de Vieta para uma equação cúbica. Se as raízes da equação
são
,
e
, então temos:
Essas relações vão nos ajudar a conectar os coeficientes
,
e
com as raízes da equação.
Passo 3
Agora, para provar as desigualdades
e
, vamos utilizar a Desigualdade de Cauchy-Schwarz e a Desigualdade de AM-GM.
Primeiro, consideremos a desigualdade
.
Sabemos que:
Essa desigualdade pode ser derivada aplicando a AM-GM, que nos diz que a média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica para números positivos.
Passo 4
Vamos aplicar a Desigualdade de AM-GM aos termos
,
e
:
Elevando ambos os lados ao sexto poder:
Multiplicando ambos os lados por 729:
Passo 5
Agora, vamos relacionar
.
Sabendo que
e que queremos provar
, podemos reescrever 729 como
, então temos:
Isso implica que:
Resposta
Portanto, mostramos que para a equação
com
,
e
positivos e três raízes reais, é válido que
.
Exercícios relacionados
Para cada uma das afirmações a seguir, diga se ela está correta e justifique sua resposta: O experimento de Poisson é aquele em que contabilizam-se o
de sucessos dentre uma quantidade finita n de oportunidades.
Dada a seguinte distribuição do número de avarias nos elevadores em 200 edifícios públicos:
N.
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|---|
Frequências | 53 | 68 | 44 | 17 | 16 | 2 |
(a) Faça a representação gráfica das frequências relativas e das frequências relativas acumuladas.
(b) Calcule a média, o desvio padrão e a moda.
(b) Calcule a média, o desvio padrão e a moda.
Numa determinada empresa, o salário dos homens pode tomar os valores, de 1000 u.m., 1500 u.m., 2000 u.m. e 2500 u.m. As mulheres podem usufruir os seguintes salários: 500 u.m., 1000 u.m., 1500 u.m. e 2000 u.m. Supondo que a percentagem de homens a auferir cada um dos valores é a mesma, e o mesmo em relação às mulheres, e que os ordenados dos homens são independentes dos ordenados das mulheres, qual a probabilidade de um casal, escolhido aleatoriamente:
(a) Ganhar mais de 2500 u.m.
(b) Ganhar um múltiplo de .
© Ganhar entre 2000 e 3500 u.m. (inclusive).
(a) Ganhar mais de 2500 u.m.
(b) Ganhar um múltiplo de
© Ganhar entre 2000 e 3500 u.m. (inclusive).
Uma caiza retangular sem tampa tem arestas medindo
e
. Use a desigualdade das médias para mostrar que, se o volume da caixa é igual a 32, então sua área é maior ou igual a 48 .