Mostre que se a equação , na qual e são números positivos e possuem três raízes reias, então .

Passo 1

Então, a gente tem a equação cúbica , onde , e são números positivos e existem três raízes reais para essa equação. Nosso objetivo aqui é mostrar que . Para resolver isso, vamos usar a fórmula de Vieta, que relaciona os coeficientes da equação às suas raízes, além de aplicar algumas desigualdades básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de Vieta para uma equação cúbica. Se as raízes da equação são , e , então temos:
Essas relações vão nos ajudar a conectar os coeficientes , e com as raízes da equação.

Passo 3

Agora, para provar as desigualdades e , vamos utilizar a Desigualdade de Cauchy-Schwarz e a Desigualdade de AM-GM.
Primeiro, consideremos a desigualdade .
Sabemos que:
Essa desigualdade pode ser derivada aplicando a AM-GM, que nos diz que a média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica para números positivos.

Passo 4

Vamos aplicar a Desigualdade de AM-GM aos termos , e :
Elevando ambos os lados ao sexto poder:
Multiplicando ambos os lados por 729:

Passo 5

Agora, vamos relacionar .
Sabendo que e que queremos provar , podemos reescrever 729 como , então temos:
Isso implica que:

Resposta

Portanto, mostramos que para a equação com , e positivos e três raízes reais, é válido que .

Exercícios relacionados

Para cada uma das afirmações a seguir, diga se ela está correta e justifique sua resposta: O experimento de Poisson é aquele em que contabilizam-se o de sucessos dentre uma quantidade finita n de oportunidades.
Dada a seguinte distribuição do número de avarias nos elevadores em 200 edifícios públicos:
N. de avarias 0 1 2 3 4 5
Frequências 53 68 44 17 16 2
(a) Faça a representação gráfica das frequências relativas e das frequências relativas acumuladas.
(b) Calcule a média, o desvio padrão e a moda.
Numa determinada empresa, o salário dos homens pode tomar os valores, de 1000 u.m., 1500 u.m., 2000 u.m. e 2500 u.m. As mulheres podem usufruir os seguintes salários: 500 u.m., 1000 u.m., 1500 u.m. e 2000 u.m. Supondo que a percentagem de homens a auferir cada um dos valores é a mesma, e o mesmo em relação às mulheres, e que os ordenados dos homens são independentes dos ordenados das mulheres, qual a probabilidade de um casal, escolhido aleatoriamente:
(a) Ganhar mais de 2500 u.m.
(b) Ganhar um múltiplo de .
© Ganhar entre 2000 e 3500 u.m. (inclusive).
Uma caiza retangular sem tampa tem arestas medindo e . Use a desigualdade das médias para mostrar que, se o volume da caixa é igual a 32, então sua área é maior ou igual a 48 .