(3,0) Calcule, caso existam, os seguintes limites: lim (x, y) (0,0) x^2 raizyraizx^2+y^2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que calcular o limite quando o ponto (x, y) se aproxima de (0,0) da expressão:
lim (x, y) (0,0) x^2 raizyraizx^2+y^2
Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam quando (x, y) se aproxima de (0,0) de diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do limite:
x^2 raizyraizx^2+y^2
Temos o numerador x^2 raizy e o denominador raizx^2+y^2. Queremos ver o que acontece com essa fração quando x e y ficam muito próximos de zero.

Passo 3

Vamos tentar substituir diretamente x = 0 e y = 0 na expressão:
0^2 raiz0raiz0^2+0^2 = 0 cdot 00 = 00
Obtemos uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos analisar o limite de outra maneira, já que a substituição direta não nos dá a resposta.

Passo 4

Uma maneira de investigar esse limite é considerar diferentes caminhos pelos quais (x, y) se aproxima de (0,0) e ver se o limite é o mesmo em todos esses caminhos. Se encontrarmos diferentes valores, o limite não existe. Se for o mesmo em todos os caminhos, então esse é o valor do limite.
Vamos testar dois caminhos comuns:
  1. y = kx, onde k é uma constante.
  2. x = 0 ou y = 0.

Passo 5

Primeiro, vamos considerar o caminho y = kx.
Substituindo y por kx na expressão:
x^2 raizkxraizx^2 + (kx)^2 = x^2 raizk raizxraizx^2 + k^2x^2 = x^2 raizk raizx|x|raiz1 + k^2
Simplificando, lembrando que raizx = |x|^1/2:
x^2 raizk |x|^1/2|x|raiz1 + k^2 = raizk , |x|^2 + 12|x| raiz1 + k^2 = raizk , |x|^32raiz1 + k^2
Quando x 0, |x|^32 0, então o limite ao longo desse caminho é 0.

Passo 6

Agora, vamos considerar o caminho em que x = 0:
Substituindo x = 0 na expressão:
0^2 raizyraiz0^2 + y^2 = 0 cdot raizyraizy^2 = 0|y| = 0
Portanto, o limite também é 0 nesse caminho.

Passo 7

Como testamos diferentes caminhos e em todos eles o limite foi 0, podemos concluir que o limite geral é 0. Além disso, a função é contínua e não apresenta comportamentos estranhos próximos a (0,0) que possam impedir essa conclusão.

Resposta

O limite é igual a 0.

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