Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que calcular o limite quando o ponto se aproxima de da expressão:
Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam quando se aproxima de de diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do limite:
Temos o numerador e o denominador . Queremos ver o que acontece com essa fração quando e ficam muito próximos de zero.
Passo 3
Vamos tentar substituir diretamente e na expressão:
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos analisar o limite de outra maneira, já que a substituição direta não nos dá a resposta.
Passo 4
Uma maneira de investigar esse limite é considerar diferentes caminhos pelos quais se aproxima de e ver se o limite é o mesmo em todos esses caminhos. Se encontrarmos diferentes valores, o limite não existe. Se for o mesmo em todos os caminhos, então esse é o valor do limite.
Vamos testar dois caminhos comuns:
, onde é uma constante.
ou .
Passo 5
Primeiro, vamos considerar o caminho .
Substituindo por na expressão:
Simplificando, lembrando que :
Quando , , então o limite ao longo desse caminho é .
Passo 6
Agora, vamos considerar o caminho em que :
Substituindo na expressão:
Portanto, o limite também é nesse caminho.
Passo 7
Como testamos diferentes caminhos e em todos eles o limite foi , podemos concluir que o limite geral é . Além disso, a função é contínua e não apresenta comportamentos estranhos próximos a que possam impedir essa conclusão.