Mostre que existe um múltiplo de 2013 cujos dígitos são todos iguais a 1.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que existe um número que é múltiplo de 2013 e que todos os seus dígitos são iguais a 1 (como 1, 11, 111, 1111, etc.). Para resolver isso, vamos usar conceitos de divisibilidade e um pouco de teoria dos números, especificamente o Princípio da Casa dos Pombos.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar os números que são compostos apenas pelo dígito 1. Esses números podem ser representados como:
1, 11, 111, 1111, ldots
Queremos encontrar um desses números que seja divisível por 2013, ou seja, que satisfaça a condição:
Número composto por 1's div 2013 seja inteiro ú

Passo 3

Para provar que tal número existe, vamos utilizar o Princípio da Casa dos Pombos. Esse princípio afirma que se você tem mais “pombos” do que “casas” e tenta colocar cada pombo em uma casa, pelo menos uma casa vai ter mais de um pombo.
Aplicando isso aos restos da divisão dos números compostos por 1’s por 2013, temos que há apenas 2013 possíveis restos (de 0 a 2012). Se formarmos 2014 números diferentes de 1’s, pelo Princípio da Casa dos Pombos, pelo menos dois desses números terão o mesmo resto quando divididos por 2013.

Passo 4

Vamos chamar esses dois números de N1 - N2 e , onde , e ambos são compostos por apenas 1’s. Como eles têm o mesmo resto quando divididos por 2013, a diferença entre eles:
será um múltiplo de 2013. Notamos que essa diferença será um número composto por alguns dígitos 0 seguidos de um certo número de dígitos 1, ou apenas dígitos 1.

Passo 5

Se a diferença for justamente um número composto apenas por 1’s, então encontramos diretamente um múltiplo de 2013 com todos os dígitos iguais a 1. Se não, podemos repetir o processo com a nova diferença até encontrar tal número.

Passo 6

Como o número de possibilidades é finito e o Princípio da Casa dos Pombos garante que eventualmente encontraremos um múltiplo de 2013 composto apenas por 1’s, concluímos que existe, sim, um múltiplo de 2013 com todos os dígitos iguais a 1.

Resposta

Existe, de fato, um número formado apenas pelo dígito 1 que é múltiplo de 2013.

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