Mostre que o fator de empacotamento atômico para o CCC é de 0,68

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos mostrar que o fator de empacotamento atômico (FEA) para o CCC (Cúbico de Corpo Centrado) é 0,68. O FEA é uma medida de quanto do volume de uma estrutura cristalina é ocupado pelos átomos. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a estrutura do CCC e usar fórmulas que nos ajudem a calcular o FEA.

Passo 2

O fator de empacotamento atômico (FEA) é dado pela relação entre o volume ocupado pelos átomos na célula unitária e o volume total da célula unitária. A fórmula é:
FEA = Volume ocupado pelos átomosVolume da célula unitária áéá

Passo 3

No CCC, cada célula unitária contém 2 átomos efetivos. Isso porque há 1 átomo no centro da célula e 8 átomos dos cantos que são compartilhados por 8 células adjacentes, contribuindo com 1 átomo ( $ \frac{8}{8} = 1 $ ). Portanto, no total, temos:
88 = 1

Passo 4

A relação entre o raio atômico $ r $ e a aresta da célula unitária $ a $ no CCC é:
r
Isso vem da geometria da célula CCC, onde a diagonal da célula inclui dois raios e a relação geométrica entre $ a $ e $ r $.

Passo 5

Calculamos o volume ocupado pelos átomos na célula unitária. O volume de um átomo esférico é dado por:
Vátomo = 43 pi r^3 á
Como temos 2 átomos por célula, o volume total ocupado pelos átomos é:
Vátomos = 2 times 43 pi r^3 = 83 pi r^3 á

Passo 6

Calculamos o volume da célula unitária. Com a relação $ a = \frac{4r}{\sqrt{3}} $, o volume da célula é:
a = 4rraiz3 é

Passo 7

Finalmente, aplicamos a fórmula do FEA:
FEA = VátomosVcélula = 83 pi r^364 r^33 raiz3 = 8 pi64 raiz3 = pi8 raiz3 approx 0,68 áé

Resposta

O fator de empacotamento atômico para o CCC é 0,68.

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