Mostre que
satisfaz a equação de onda de Schrödinger dependente do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função $ A e^{i(k x - \omega t)} $ satisfaz a equação de onda de Schrödinger dependente do tempo. Isso faz parte da matéria de mecânica quântica. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação de Schrödinger e ver como essa função se encaixa nela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de onda de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula livre (sem potencial):
Aqui, $ \psi $ é a função de onda, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ m $ é a massa da partícula, $ i $ é a unidade imaginária, e $ \frac{\partial \psi}{\partial t} $ e $ \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} $ são as derivadas da função de onda em relação ao tempo e ao espaço, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos considerar a função dada no exercício:
Nossa missão é substituir $ \psi $ na equação de Schrödinger e verificar se os dois lados da equação se igualam.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a derivada da função de onda em relação ao tempo $ t $:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a segunda derivada da função de onda em relação ao espaço $ x $:
Passo 6
Agora, vamos substituir essas derivadas na equação de Schrödinger:
Simplificando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Passo 7
Para que a equação seja satisfeita, os dois lados devem ser iguais:
Podemos cancelar $ \psi $ de ambos os lados (desde que $ \psi \neq 0 $):
Passo 8
Vamos resolver essa equação para $ \omega $:
Isso mostra que, se $ \omega $ está relacionado a $ k $ dessa maneira, então a função $ A e^{i(k x - \omega t)} $ satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.
Resposta
Portanto, mostramos que a função $ A e^{i(k x - \omega t)} $ satisfaz a equação de onda de Schrödinger dependente do tempo quando $ \omega = \frac{\hbar k^2}{2m} $.