Mostre que A e^i(k x-omega t) satisfaz a equação de onda de Schrödinger dependente do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função $ A e^{i(k x - \omega t)} $ satisfaz a equação de onda de Schrödinger dependente do tempo. Isso faz parte da matéria de mecânica quântica. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação de Schrödinger e ver como essa função se encaixa nela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de onda de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula livre (sem potencial):
i hbar partial psipartial t = - hbar^22m partial^2 psipartial x^2
Aqui, $ \psi $ é a função de onda, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ m $ é a massa da partícula, $ i $ é a unidade imaginária, e $ \frac{\partial \psi}{\partial t} $ e $ \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} $ são as derivadas da função de onda em relação ao tempo e ao espaço, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos considerar a função dada no exercício:
psi(x, t) = A e^i(k x - omega t)
Nossa missão é substituir $ \psi $ na equação de Schrödinger e verificar se os dois lados da equação se igualam.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a derivada da função de onda em relação ao tempo $ t $:
t

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a segunda derivada da função de onda em relação ao espaço $ x $:
x
partial psipartial x = partialpartial x ( A e^i(k x - omega t) ) = A cdot i k e^i(k x - omega t) = i k psi

Passo 6

Agora, vamos substituir essas derivadas na equação de Schrödinger:
i hbar ( -i omega psi ) = - hbar^22m ( -k^2 psi )
Simplificando o lado esquerdo:
i hbar (-i omega psi) = hbar omega psi
E o lado direito:
- hbar^22m (-k^2 psi) = hbar^2 k^22m psi

Passo 7

Para que a equação seja satisfeita, os dois lados devem ser iguais:
hbar omega psi = hbar^2 k^22m psi
Podemos cancelar $ \psi $ de ambos os lados (desde que $ \psi \neq 0 $):
psi

Passo 8

Vamos resolver essa equação para $ \omega $:
omega
Isso mostra que, se $ \omega $ está relacionado a $ k $ dessa maneira, então a função $ A e^{i(k x - \omega t)} $ satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.

Resposta

Portanto, mostramos que a função $ A e^{i(k x - \omega t)} $ satisfaz a equação de onda de Schrödinger dependente do tempo quando $ \omega = \frac{\hbar k^2}{2m} $.

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