Mostre, por indução, que a soma dos cubos de três inteiros positivos consecutivos é um múltiplo de 9 . Observação. Lembre-se que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar, usando indução, que a soma dos cubos de três inteiros positivos consecutivos é um múltiplo de 9. Isso está relacionado ao conteúdo de indução matemática e propriedades de múltiplos. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o método de indução e trabalhar com expressões algébricas envolvendo cubos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “três inteiros positivos consecutivos”. Se o primeiro inteiro for , os próximos serão e . Então, a soma dos cubos desses três números é:

Passo 3

Agora, vamos expandir cada um desses cubos usando a fórmula :

Passo 4

Agora, somamos os três cubos:

Passo 5

Queremos mostrar que é múltiplo de 9, ou seja, é divisível por 9. Observamos que todos os termos de são múltiplos de 3:
Como todos os termos são múltiplos de 3 e a soma de múltiplos de 3 também é múltiplo de 3, mas precisamos que seja múltiplo de 9. Notamos que:
Agora, precisamos mostrar que é múltiplo de 3.

Passo 6

Aplicando indução matemática:
  • Base da indução: Para :
36 é múltiplo de 9, pois .
  • Passo indutivo: Suponha que para algum , a soma seja múltiplo de 9. Precisamos mostrar que também é múltiplo de 9.
Expande:
Como é múltiplo de 3 (pela hipótese de indução), multiplicado por 3 resulta em múltiplo de 9. Portanto, a propriedade é mantida.

Resposta

A soma dos cubos de três inteiros positivos consecutivos é sempre um múltiplo de 9.

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