Mostre, por indução, que a soma dos cubos de três inteiros positivos consecutivos é um múltiplo de 9 . Observação. Lembre-se que (a+b)^3=a^3+3 a^2 b+3 a b^2+b^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar, usando indução, que a soma dos cubos de três inteiros positivos consecutivos é um múltiplo de 9. Isso está relacionado ao conteúdo de indução matemática e propriedades de múltiplos. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o método de indução e trabalhar com expressões algébricas envolvendo cubos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “três inteiros positivos consecutivos”. Se o primeiro inteiro for S = n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 , os próximos serão e . Então, a soma dos cubos desses três números é:

Passo 3

Agora, vamos expandir cada um desses cubos usando a fórmula (n+1)^3 = n^3 + 3n^2(1) + 3n(1)^2 + 1^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 :
(n+2)^3 = n^3 + 3n^2(2) + 3n(2)^2 + 2^3 = n^3 + 6n^2 + 12n + 8

Passo 4

Agora, somamos os três cubos:
S = n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + (n^3 + 6n^2 + 12n + 8)
S = 3n^3 + 9n^2 + 15n + 9

Passo 5

Queremos mostrar que 3n^3 = 3 times n^3 é múltiplo de 9, ou seja, 9n^2 = 9 times n^2 é divisível por 9. Observamos que todos os termos de 15n = 15 times n são múltiplos de 3:
9 = 9 times 1
S = 3(n^3 + 3n^2 + 5n + 3)
Como todos os termos são múltiplos de 3 e a soma de múltiplos de 3 também é múltiplo de 3, mas precisamos que seja múltiplo de 9. Notamos que:
Agora, precisamos mostrar que é múltiplo de 3.

Passo 6

Aplicando indução matemática:
  • Base da indução: Para 1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36 :
(k+1)^3 + (k+2)^3 + (k+3)^3 = 3(k+1)^3 + 9(k+1)^2 + 15(k+1) + 9
36 é múltiplo de 9, pois .
  • Passo indutivo: Suponha que para algum , a soma seja múltiplo de 9. Precisamos mostrar que também é múltiplo de 9.
Expande:
Como é múltiplo de 3 (pela hipótese de indução), multiplicado por 3 resulta em múltiplo de 9. Portanto, a propriedade é mantida.

Resposta

A soma dos cubos de três inteiros positivos consecutivos é sempre um múltiplo de 9.

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