Mostre, por indução, que a soma dos cubos de três inteiros positivos consecutivos é um múltiplo de 9 . Observação. Lembre-se que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar, usando indução, que a soma dos cubos de três inteiros positivos consecutivos é um múltiplo de 9. Isso está relacionado ao conteúdo de indução matemática e propriedades de múltiplos. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o método de indução e trabalhar com expressões algébricas envolvendo cubos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “três inteiros positivos consecutivos”. Se o primeiro inteiro for
, os próximos serão
e
. Então, a soma dos cubos desses três números é:
Passo 3
Agora, vamos expandir cada um desses cubos usando a fórmula
:
Passo 4
Agora, somamos os três cubos:
Passo 5
Queremos mostrar que
é múltiplo de 9, ou seja,
é divisível por 9. Observamos que todos os termos de
são múltiplos de 3:
Como todos os termos são múltiplos de 3 e a soma de múltiplos de 3 também é múltiplo de 3, mas precisamos que seja múltiplo de 9. Notamos que:
Agora, precisamos mostrar que
é múltiplo de 3.
Passo 6
Aplicando indução matemática:
- Base da indução: Para
:
36 é múltiplo de 9, pois
.
- Passo indutivo: Suponha que para algum
, a soma seja múltiplo de 9. Precisamos mostrar que também é múltiplo de 9.
Expande:
Como
é múltiplo de 3 (pela hipótese de indução), multiplicado por 3 resulta em múltiplo de 9. Portanto, a propriedade é mantida.
Resposta
A soma dos cubos de três inteiros positivos consecutivos é sempre um múltiplo de 9.