Prove por indução a validade das fórmulas abaixo:

Passo 1

Então, vamos provar por indução a validade da fórmula . Aqui, estamos trabalhando com uma série que alterna sinais e envolve quadrados de números naturais. Para resolver isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica poderosa para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para o caso inicial, ou seja, quando .
Para :
Portanto, a fórmula está correta para .

Passo 3

Agora, vamos supor que a fórmula seja verdadeira para algum número natural , ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

Nosso objetivo é mostrar que, se a hipótese de indução é verdadeira para , então ela também é verdadeira para . Vamos adicionar o próximo termo da série:
Usando a hipótese de indução, substituímos a soma até :

Passo 5

Vamos fatorar do segundo termo:
Fatorando e :
Simplificando dentro dos parênteses:
Assim, temos:
Esse é exatamente o lado direito da fórmula para :

Resposta

Portanto, por indução matemática, a fórmula é verdadeira para todo número natural .

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