Prove por indução a validade das fórmulas abaixo:
Passo 1
Então, vamos provar por indução a validade da fórmula
. Aqui, estamos trabalhando com uma série que alterna sinais e envolve quadrados de números naturais. Para resolver isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica poderosa para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para o caso inicial, ou seja, quando
.
Para
:
Portanto, a fórmula está correta para
.
Passo 3
Agora, vamos supor que a fórmula seja verdadeira para algum número natural
, ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 4
Nosso objetivo é mostrar que, se a hipótese de indução é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
. Vamos adicionar o próximo termo da série:
Usando a hipótese de indução, substituímos a soma até
:
Passo 5
Vamos fatorar
do segundo termo:
Fatorando
e
:
Simplificando dentro dos parênteses:
Assim, temos:
Esse é exatamente o lado direito da fórmula para
:
Resposta
Portanto, por indução matemática, a fórmula
é verdadeira para todo número natural
.
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Lançam-se três moedas. Enumerar o espaço amostral e os eventos: a) Faces iguais;
Mostre, por indução, que a soma dos cubos de três inteiros positivos consecutivos é um múltiplo de 9 . Observação. Lembre-se que
.
Lançam-se três moedas. Enumerar o espaço amostral e os eventos: c) Coroa na
e
moeda.
Prove, usando indução, que para qualquer n natural,