Prove por indução a validade das fórmulas abaixo: 1-2^2+3^2-ldots+(-1)^n-1 n^2=(-1)^n-1 n(n+1)2

Passo 1

Então, vamos provar por indução a validade da fórmula . Aqui, estamos trabalhando com uma série que alterna sinais e envolve quadrados de números naturais. Para resolver isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica poderosa para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para o caso inicial, ou seja, quando 1 = (-1)^1-1 1(1+1)2 = (-1)^0 22 = 1 times 1 = 1 .
Para :
Portanto, a fórmula está correta para .

Passo 3

Agora, vamos supor que a fórmula seja verdadeira para algum número natural 1 - 2^2 + 3^2 - ldots + (-1)^k-1 k^2 = (-1)^k-1 k(k+1)2 , ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

Nosso objetivo é mostrar que, se a hipótese de indução é verdadeira para 1 - 2^2 + 3^2 - ldots + (-1)^k-1 k^2 + (-1)^k (k+1)^2 , então ela também é verdadeira para (-1)^k-1 k(k+1)2 + (-1)^k (k+1)^2 . Vamos adicionar o próximo termo da série:
Usando a hipótese de indução, substituímos a soma até :

Passo 5

Vamos fatorar (-1)^k-1 k(k+1)2 + (-1)^k (k+1)^2 = (-1)^k-1 k(k+1)2 - (-1)^k-1 (k+1)^2 do segundo termo:
(-1)^k-1 ( k(k+1)2 - (k+1)^2 ) = (-1)^k-1 (k+1) ( k2 - (k+1) )
Fatorando k2 - k - 1 = -k2 - 1 = -k + 22 e (-1)^k-1 (k+1) ( -k + 22 ) = (-1)^k (k+1)(k+2)2 :
(-1)^(k+1)-1 (k+1)((k+1)+1)2 = (-1)^k (k+1)(k+2)2
Simplificando dentro dos parênteses:
Assim, temos:
Esse é exatamente o lado direito da fórmula para :

Resposta

Portanto, por indução matemática, a fórmula é verdadeira para todo número natural .

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