Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado a limites e exponenciais na matemática. Para resolver, vamos precisar entender propriedades de limites, logaritmos e a definição do número
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a análise. Sabemos que
pode ser trabalhado usando logaritmos. Então, vamos chamar nosso limite de
:
Tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Isso simplifica nosso problema para encontrar
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que
pode ser expandido em uma série de Taylor quando
está próximo de 0:
Para valores muito pequenos de
, os termos de ordem superior a
são desprezíveis. Então, podemos aproximar:
Passo 4
Substituindo essa aproximação na expressão do limite:
Portanto,
.
Passo 5
Para encontrar
, basta aplicar a função exponencial nos dois lados:
Resposta
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