Mostre que
lim x 0(1+x)^1x=e

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado a limites e exponenciais na matemática. Para resolver, vamos precisar entender propriedades de limites, logaritmos e a definição do número .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a análise. Sabemos que L = lim x 0(1+x)^1x pode ser trabalhado usando logaritmos. Então, vamos chamar nosso limite de ln L = lim x 0 ln(1+x)x :
Tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Isso simplifica nosso problema para encontrar .

Passo 3

Agora, vamos lembrar que ln(1+x) = x - x^22 + x^33 - dots pode ser expandido em uma série de Taylor quando ln(1+x) approx x está próximo de 0:
Para valores muito pequenos de , os termos de ordem superior a são desprezíveis. Então, podemos aproximar:

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão do limite:
ln L = lim x 0 xx = lim x 0 1 = 1
Portanto, .

Passo 5

Para encontrar L = e^ln L = e^1 = e , basta aplicar a função exponencial nos dois lados:

Resposta

lim x 0(1+x)^1x = e

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