Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado a limites e exponenciais na matemática. Para resolver, vamos precisar entender propriedades de limites, logaritmos e a definição do número .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a análise. Sabemos que pode ser trabalhado usando logaritmos. Então, vamos chamar nosso limite de :
Tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Isso simplifica nosso problema para encontrar .

Passo 3

Agora, vamos lembrar que pode ser expandido em uma série de Taylor quando está próximo de 0:
Para valores muito pequenos de , os termos de ordem superior a são desprezíveis. Então, podemos aproximar:

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão do limite:
Portanto, .

Passo 5

Para encontrar , basta aplicar a função exponencial nos dois lados:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule:
Determine os sinais, as assíntotas verticais e horizontais e faça um esboço do gráfico de