Determine os sinais, as assíntotas verticais e horizontais e faça um esboço do gráfico de

Passo 1

Vamos analisar a função . Nosso objetivo é determinar os sinais da função, encontrar as assíntotas verticais e horizontais, e fazer um esboço do gráfico. Para isso, precisaremos entender conceitos de sinais, assíntotas e comportamento de funções racionais.

Passo 2

Determinar os zeros do numerador e do denominador:
Primeiro, encontramos os valores de que anulam o numerador e o denominador.
  • Numerador:
  • Denominador:
Esses valores são importantes para determinar as interseções com os eixos e possíveis assíntotas.

Passo 3

Determinar os sinais da função:
Vamos analisar os intervalos definidos pelos zeros do numerador e denominador: .
Criaremos uma tabela de sinais:
Intervalo
Positivo Positivo Negativo Positivo Positivo
Negativo Positivo Positivo Positivo Negativo
Negativo Positivo Negativo Positivo Negativo
Explicação:
  • é positivo quando e negativo quando .
  • é positivo quando e negativo quando .
  • O sinal da função é dado pelo quociente dos sinais do numerador e denominador.

Passo 4

Encontrar as assíntotas verticais:
Assíntotas verticais ocorrem onde o denominador é zero, desde que o numerador não seja zero no mesmo ponto.
Verificamos que o numerador não é zero em (pois e ).
Então, as assíntotas verticais são:

Passo 5

Encontrar as assíntotas horizontais:
Para funções racionais, se o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a divisão dos coeficientes líderes.
  • Grau do numerador: 2
  • Grau do denominador: 2
Assim, a assíntota horizontal é:
Então, a assíntota horizontal é:

Passo 6

Esboço do gráfico:
  1. Interseções com os eixos:
    • Eixo x: e
    • Eixo y: Quando ,
  2. Assíntotas:
    • Verticais em e
    • Horizontal em
  3. Comportamento nos intervalos:
    • Entre e : função positiva
    • Entre e : função negativa
    • Entre e : função positiva
    • Fora de e : função negativa
  4. Desenho:
    • Aproxima-se das assíntotas conforme tende a .
    • Passa pelos pontos de interseção com os eixos.

Resposta

A função possui:
  • Assíntotas verticais em e .
  • Assíntota horizontal em .
  • Interseções com o eixo x em e , e com o eixo y em .
O gráfico apresenta variações de sinal conforme os intervalos determinados e se aproxima das assíntotas conforme tende ao infinito.

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