Determine os sinais, as assíntotas verticais e horizontais e faça um esboço do gráfico de
Passo 1
Vamos analisar a função
. Nosso objetivo é determinar os sinais da função, encontrar as assíntotas verticais e horizontais, e fazer um esboço do gráfico. Para isso, precisaremos entender conceitos de sinais, assíntotas e comportamento de funções racionais.
Passo 2
Determinar os zeros do numerador e do denominador:
Primeiro, encontramos os valores de
que anulam o numerador e o denominador.
-
Numerador:
-
Denominador:
Esses valores são importantes para determinar as interseções com os eixos e possíveis assíntotas.
Passo 3
Determinar os sinais da função:
Vamos analisar os intervalos definidos pelos zeros do numerador e denominador:
.
Criaremos uma tabela de sinais:
Intervalo |
|
|
|
|
|
---|---|---|---|---|---|
|
Positivo | Positivo | Negativo | Positivo | Positivo |
|
Negativo | Positivo | Positivo | Positivo | Negativo |
|
Negativo | Positivo | Negativo | Positivo | Negativo |
Explicação:
-
é positivo quando e negativo quando . -
é positivo quando e negativo quando . - O sinal da função
é dado pelo quociente dos sinais do numerador e denominador.
Passo 4
Encontrar as assíntotas verticais:
Assíntotas verticais ocorrem onde o denominador é zero, desde que o numerador não seja zero no mesmo ponto.
Verificamos que o numerador não é zero em
(pois
e
).
Então, as assíntotas verticais são:
Passo 5
Encontrar as assíntotas horizontais:
Para funções racionais, se o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a divisão dos coeficientes líderes.
- Grau do numerador: 2
- Grau do denominador: 2
Assim, a assíntota horizontal é:
Então, a assíntota horizontal é:
Passo 6
Esboço do gráfico:
-
Interseções com os eixos:
- Eixo x:
e - Eixo y: Quando
,
- Eixo x:
-
Assíntotas:
- Verticais em
e - Horizontal em
- Verticais em
-
Comportamento nos intervalos:
- Entre
e : função positiva - Entre
e : função negativa - Entre
e : função positiva - Fora de
e : função negativa
- Entre
-
Desenho:
- Aproxima-se das assíntotas conforme
tende a . - Passa pelos pontos de interseção com os eixos.
- Aproxima-se das assíntotas conforme
Resposta
A função
possui:
- Assíntotas verticais em
e . - Assíntota horizontal em
. - Interseções com o eixo x em
e , e com o eixo y em .
O gráfico apresenta variações de sinal conforme os intervalos determinados e se aproxima das assíntotas conforme
tende ao infinito.
Exercícios relacionados
Mostre que
Mostre que se
e
então,
Calcule:
Mostre que