Mostre por limites as seguintes propriedades/regras ou resultados de derivação: (k x)' = k (x)'

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrarmos, usando limites, que a derivada de é igual a vezes a derivada de . Aqui, estamos trabalhando com o conceito de derivada, que é a taxa de variação de uma função. Para isso, precisamos usar a definição de derivada baseada em limites.

Passo 2

Primeiro, lembramos a definição de derivada de uma função em um ponto :
No nosso caso, a função é , onde é uma constante.

Passo 3

Vamos aplicar a definição de derivada para :

Passo 4

Simplificamos a expressão dentro do limite:

Passo 5

Cancelamos o no numerador e denominador:

Passo 6

Então, o limite fica:

Passo 7

Agora, sabemos que a derivada de é:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

Portanto, mostramos que:

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Encontre a derivada das funções abaixo com as regras de derivação:
Mostre por limites as seguintes propriedades/regras ou resultados de derivação: (x^2)' = 2x
Encontre a derivada das funções abaixo com as regras de derivação: y = 10^(1 - x^2)
Encontre os pontos críticos e os classifique em máximo ou mínimo, local ou global: