Mostre por limites as seguintes propriedades/regras ou resultados de derivação: (x^2)' = 2x

Passo 1

Vamos mostrar, usando limites, que a derivada de é . Para isso, vamos utilizar o conceito de derivada através do limite, que é a base do cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada de uma função no ponto :
Essa fórmula nos diz como calcular a taxa de variação instantânea da função em relação a .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à função . Substituindo na fórmula da derivada, temos:

Passo 4

Vamos expandir o termo :
Substituindo de volta na expressão da derivada:

Passo 5

Simplificando a expressão:
Podemos fatorar o no numerador:

Passo 6

Cancelando o do numerador e do denominador:

Passo 7

Agora, aplicamos o limite quando se aproxima de zero:

Resposta

Portanto, a derivada de é .

Exercícios relacionados

Mostre por limites as seguintes propriedades/regras ou resultados de derivação: x' = 1
Calcule as derivadas das seguintes funções:
y = (x^3 + 5 * raiz(x)) / (7 * raiz(cubica(x^7)) + 3 * x^9)
Encontre a derivada das funções abaixo com as regras de derivação:
Mostre por limites as seguintes propriedades/regras ou resultados de derivação: (k x)' = k (x)'