Mostre por limites as seguintes propriedades/regras ou resultados de derivação:
Passo 1
Vamos mostrar, usando limites, que a derivada de
é
. Para isso, vamos utilizar o conceito de derivada através do limite, que é a base do cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada de uma função
no ponto
:
Essa fórmula nos diz como calcular a taxa de variação instantânea da função
em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à função
. Substituindo na fórmula da derivada, temos:
Passo 4
Vamos expandir o termo
:
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Podemos fatorar o
no numerador:
Passo 6
Cancelando o
do numerador e do denominador:
Passo 7
Agora, aplicamos o limite quando
se aproxima de zero:
Resposta
Portanto, a derivada de
é
.
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Encontre a derivada das funções abaixo com as regras de derivação:
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