Mostre que uma massa m amarrada a uma mola não ideal que fornece uma força restauradora -k x-a x^3, onde x é o deslocamento do equilíbrio, executa um movimento periódico. Qual é o seu período? O movimento é simples e harmônico?

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para mostrar que uma massa presa a uma mola não ideal, que exerce uma força restauradora de , realiza um movimento periódico. Além disso, queremos descobrir qual é o período desse movimento e se ele é simples e harmônico. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica de sistemas massa-mola e um pouco de cálculo para determinar o período.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a força que está atuando na massa. A força restauradora dada é . Aqui, é a força de uma mola ideal, e representa uma não linearidade na mola, tornando-a não ideal.

Passo 3

Segundo a segunda lei de Newton, a força resultante sobre a massa é igual à massa vezes a aceleração:
m d^2xdt^2 = -k x - a x^3
Vamos reescrever essa equação para facilitar:
d^2xdt^2 + km x + am x^3 = 0

Passo 4

Para mostrar que o movimento é periódico, precisamos encontrar uma solução para essa equação que seja periódica no tempo. Vamos multiplicar ambos os lados da equação por dxdt d^2xdt^2 + km x dxdt + am x^3 dxdt = 0 e integrar, usando o princípio da conservação de energia:
12 ( dxdt )^2 + k2m x^2 + a4m x^4 = E
Integrando:
onde é a energia total do sistema, que é constante.

Passo 5

Agora, para encontrar o período T = raiz2m integral-A^A dxraizE - k2m x^2 - a4m x^4 do movimento, usamos a expressão para o período de oscilação em sistemas não lineares:
onde é a amplitude da oscilação. Essa integral é periódica, o que confirma que o movimento é periódico.

Passo 6

Por fim, analisando se o movimento é simples e harmônico, observamos que a força restauradora não é apenas proporcional a , mas também a . O movimento simples e harmônico requer que a força seja diretamente proporcional e oposta ao deslocamento ( ). Como temos um termo adicional de , o movimento não é exatamente simples e harmônico.

Resposta

A massa T = raiz2m integral-A^A dxraizE - k2m x^2 - a4m x^4 presa à mola não ideal executa um movimento periódico com período dado por:
Além disso, devido ao termo não linear na força restauradora, o movimento não é simples e harmônico.

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