Mostre que uma massa
amarrada a uma mola não ideal que fornece uma força restauradora
, onde
é o deslocamento do equilíbrio, executa um movimento periódico. Qual é o seu período? O movimento é simples e harmônico?
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para mostrar que uma massa
presa a uma mola não ideal, que exerce uma força restauradora de
, realiza um movimento periódico. Além disso, queremos descobrir qual é o período desse movimento e se ele é simples e harmônico. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica de sistemas massa-mola e um pouco de cálculo para determinar o período.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a força que está atuando na massa. A força restauradora dada é
. Aqui,
é a força de uma mola ideal, e
representa uma não linearidade na mola, tornando-a não ideal.
Passo 3
Segundo a segunda lei de Newton, a força resultante sobre a massa é igual à massa vezes a aceleração:
Vamos reescrever essa equação para facilitar:
Passo 4
Para mostrar que o movimento é periódico, precisamos encontrar uma solução para essa equação que seja periódica no tempo. Vamos multiplicar ambos os lados da equação por
e integrar, usando o princípio da conservação de energia:
Integrando:
onde
é a energia total do sistema, que é constante.
Passo 5
Agora, para encontrar o período
do movimento, usamos a expressão para o período de oscilação em sistemas não lineares:
onde
é a amplitude da oscilação. Essa integral é periódica, o que confirma que o movimento é periódico.
Passo 6
Por fim, analisando se o movimento é simples e harmônico, observamos que a força restauradora não é apenas proporcional a
, mas também a
. O movimento simples e harmônico requer que a força seja diretamente proporcional e oposta ao deslocamento (
). Como temos um termo adicional de
, o movimento não é exatamente simples e harmônico.
Resposta
A massa
presa à mola não ideal executa um movimento periódico com período dado por:
Além disso, devido ao termo não linear
na força restauradora, o movimento não é simples e harmônico.