Use o teorema dos eixos paralelos para determinar os momentos de inércia de uma esfera sólida em girando torno de um eixo tangente à sua superfície.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver um exercício sobre o teorema dos eixos paralelos, que ajuda a encontrar o momento de inércia quando mudamos o eixo de rotação. No nosso caso, queremos determinar o momento de inércia de uma esfera sólida que está girando em torno de um eixo tangente à sua superfície. Para isso, vamos precisar saber o momento de inércia da esfera em relação ao seu centro e aplicar o teorema dos eixos paralelos.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é o momento de inércia de uma esfera sólida em relação ao seu próprio centro. A fórmula é:
Aqui, $ m $ é a massa da esfera e $ r $ é o raio.
Passo 3
Agora, como queremos o momento de inércia em torno de um eixo que está tangente à superfície da esfera, precisamos usar o teorema dos eixos paralelos. Esse teorema diz que:
Onde:
- $ I $ é o momento de inércia em torno do novo eixo.
- $ I_{centro} $ é o momento de inércia em torno do centro de massa.
- $ m $ é a massa da esfera.
- $ d $ é a distância entre os dois eixos.
Passo 4
No nosso caso, a distância $ d $ entre o eixo central e o eixo tangente é igual ao raio da esfera, ou seja, $ d = r $. Substituindo isso na fórmula do teorema dos eixos paralelos:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão:
Resposta
O momento de inércia da esfera sólida em torno de um eixo tangente à sua superfície é: