mostre que o módulo da diferença de potencial entre o fio e o cilindro é
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que o módulo da diferença de potencial entre um fio e um cilindro é dado por
Aqui, estamos lidando com Eletrostática, especificamente com potenciais elétricos criados por distribuições de carga. Vamos precisar aplicar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico devido a um fio carregado e depois integrar esse campo para encontrar a diferença de potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico gerado por um fio carregado de densidade linear de carga
. Para isso, usamos a Lei de Gauss, que nos ajuda a encontrar campos elétricos com alta simetria.
Passo 3
Consideramos uma superfície gaussiana cilíndrica co-centrica com o fio. O comprimento do cilindro gaussiano é
e o raio é
. Pela simetria do problema, o campo elétrico
tem magnitude constante na superfície lateral do cilindro e é radial.
Passo 4
A Lei de Gauss é dada por:
Onde
é a carga encerrada pela superfície gaussiana. No nosso caso,
.
Passo 5
Calculando a integral do lado esquerdo:
Porque o campo elétrico é constante na superfície lateral e perpendicular a ela.
Passo 6
Igualando os dois lados da Lei de Gauss:
Podemos simplificar cancelando
dos dois lados:
Passo 7
Agora que temos o campo elétrico, vamos encontrar a diferença de potencial
entre duas distâncias
e
do fio. Sabemos que:
Como o campo é radial, a integral simplifica para:
Passo 8
Integrando a expressão:
Resposta
Portanto, mostramos que o módulo da diferença de potencial entre o fio e o cilindro é