mostre que o módulo da diferença de potencial entre o fio e o cilindro é

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que o módulo da diferença de potencial entre um fio e um cilindro é dado por
Aqui, estamos lidando com Eletrostática, especificamente com potenciais elétricos criados por distribuições de carga. Vamos precisar aplicar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico devido a um fio carregado e depois integrar esse campo para encontrar a diferença de potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico gerado por um fio carregado de densidade linear de carga . Para isso, usamos a Lei de Gauss, que nos ajuda a encontrar campos elétricos com alta simetria.

Passo 3

Consideramos uma superfície gaussiana cilíndrica co-centrica com o fio. O comprimento do cilindro gaussiano é e o raio é . Pela simetria do problema, o campo elétrico tem magnitude constante na superfície lateral do cilindro e é radial.

Passo 4

A Lei de Gauss é dada por:
Onde é a carga encerrada pela superfície gaussiana. No nosso caso, .

Passo 5

Calculando a integral do lado esquerdo:
Porque o campo elétrico é constante na superfície lateral e perpendicular a ela.

Passo 6

Igualando os dois lados da Lei de Gauss:
Podemos simplificar cancelando dos dois lados:

Passo 7

Agora que temos o campo elétrico, vamos encontrar a diferença de potencial entre duas distâncias e do fio. Sabemos que:
Como o campo é radial, a integral simplifica para:

Passo 8

Integrando a expressão:

Resposta

Portanto, mostramos que o módulo da diferença de potencial entre o fio e o cilindro é

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