Usando a lei de Biot-Savart, encontre o vetor campo magnético B em um ponto P sobre o eixo da espira situado a uma distância x do seu centro; (1 ponto)
Bx=mu0 I a^22(x^2+a^2)^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Lei de Biot-Savart, que é uma ferramenta da Magnetismo para calcular o campo magnético gerado por uma corrente elétrica. A gente vai encontrar o vetor campo magnético num ponto que está sobre o eixo de uma espira circular, a uma distância do centro dela. Vamos precisar conhecer a fórmula da Lei de Biot-Savart e entender como aplicá-la nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a Lei de Biot-Savart. Ela nos diz que o campo magnético dB = mu04pi I , dl times rr^2 gerado por um elemento de corrente num ponto no espaço é dado por:
Aqui:
  • é a permeabilidade do vácuo,
  • é a corrente elétrica,
  • é o elemento de comprimento da espira,
  • é o vetor unitário que aponta de para o ponto ,
  • é a distância entre e .

Passo 3

Como estamos lidando com uma espira circular, vamos considerar que todo elemento está equidistante do ponto quando projetado no eixo. Isso simplifica nossa conta porque a contribuição dos campos magnéticos na direção perpendicular ao eixo se cancela devido à simetria.

Passo 4

Vamos integrar a expressão da Lei de Biot-Savart ao longo de toda a espira. A distância r = raizx^2 + a^2 do elemento até o ponto pode ser expressa usando o Teorema de Pitágoras, já que formam um triângulo retângulo:
Onde:
  • é a distância do ponto ao centro da espira,
  • é o raio da espira.

Passo 5

Devido à simetria, o campo magnético total Bx = mu0 I a^22 (x^2 + a^2)^3/2 no ponto só terá componente na direção do eixo. Então, podemos simplificar a integral considerando apenas essa componente. Após integrar todos os elementos da espira, a expressão fica:

Resposta

O campo magnético no ponto Bx = mu0 I a^22 (x^2 + a^2)^3/2 sobre o eixo da espira é dado por:

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