Usando a lei de Biot-Savart, encontre o vetor campo magnético
em um ponto
sobre o eixo da espira situado a uma distância
do seu centro; (1 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Lei de Biot-Savart, que é uma ferramenta da Magnetismo para calcular o campo magnético gerado por uma corrente elétrica. A gente vai encontrar o vetor campo magnético
num ponto
que está sobre o eixo de uma espira circular, a uma distância
do centro dela. Vamos precisar conhecer a fórmula da Lei de Biot-Savart e entender como aplicá-la nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a Lei de Biot-Savart. Ela nos diz que o campo magnético
gerado por um elemento de corrente
num ponto no espaço é dado por:
Aqui:
-
é a permeabilidade do vácuo, -
é a corrente elétrica, -
é o elemento de comprimento da espira, -
é o vetor unitário que aponta de para o ponto , -
é a distância entre e .
Passo 3
Como estamos lidando com uma espira circular, vamos considerar que todo elemento
está equidistante do ponto
quando projetado no eixo. Isso simplifica nossa conta porque a contribuição dos campos magnéticos na direção perpendicular ao eixo se cancela devido à simetria.
Passo 4
Vamos integrar a expressão da Lei de Biot-Savart ao longo de toda a espira. A distância
do elemento
até o ponto
pode ser expressa usando o Teorema de Pitágoras, já que formam um triângulo retângulo:
Onde:
-
é a distância do ponto ao centro da espira, -
é o raio da espira.
Passo 5
Devido à simetria, o campo magnético total
no ponto
só terá componente na direção do eixo. Então, podemos simplificar a integral considerando apenas essa componente. Após integrar todos os elementos da espira, a expressão fica:
Resposta
O campo magnético no ponto
sobre o eixo da espira é dado por: