Mostre que: O módulo do vetor está relacionado com a excentricidade da forma .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o módulo de um vetor está relacionado com a excentricidade de uma forma geométrica através da equação . Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com as propriedades das elipses. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é excentricidade, o que representa e como esses elementos se relacionam com o vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre excentricidade. A excentricidade, denotada por , é uma medida de quão alongada é uma elipse. Ela varia entre 0 e 1, onde corresponde a um círculo perfeito e valores próximos a 1 indicam elipses muito alongadas.

Passo 3

Agora, o valor representa a distância do centro da elipse a cada um dos focos. Em uma elipse, essa distância é constante e está relacionada aos semieixos maior ( ) e menor ( ) pela relação .

Passo 4

O vetor mencionado no exercício está associado à posição do foco em relação ao centro da elipse. O módulo desse vetor, , é justamente a distância que mencionamos.

Passo 5

Agora, sabemos que a excentricidade é definida pela relação . Podemos rearranjar essa fórmula para encontrar .

Passo 6

Substituindo por na expressão do módulo do vetor, temos:
Mas, se considerarmos que , e mantemos a representação , percebemos que há uma consistência nas definições.

Resposta

Assim, demonstramos que o módulo do vetor está relacionado com a excentricidade pela equação .

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