Usando as expressões dos semieixos maior e do menor das órbitas elípticas em termos do ponto de estabilidade e da excentricidade , isto é
mostre explicitamente a terceira lei de Kepler, isto é, que o período satisfaz

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar a terceira lei de Kepler usando as expressões dos semieixos maior e menor das órbitas elípticas, que são dadas em termos do ponto de estabilidade e da excentricidade . Ou seja, temos:
Nosso objetivo é chegar à terceira lei de Kepler, que relaciona o período orbital com o semieixo maior :
Vamos precisar entender um pouco de mecânica orbital e como esses parâmetros se relacionam para chegar nessa expressão final.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a terceira lei de Kepler relaciona o período de revolução de um planeta ao redor do Sol com o seu semieixo maior da órbita. Para chegar nessa relação, vamos usar a lei da gravitação universal de Newton e as propriedades das órbitas elípticas.
A força gravitacional que mantém o planeta em órbita é igual à força centrípeta necessária para mantê-lo em movimento circular (mesmo que a órbita seja elíptica, podemos considerar a média). A força gravitacional é dada por:
Onde:
  • é a constante gravitacional,
  • é a massa do Sol,
  • é a massa do planeta,
  • é a distância entre o Sol e o planeta.
A força centrípeta é:
Onde é a velocidade orbital.
Igualando as duas forças:
Podemos simplificar dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 3

Agora, vamos relacionar a velocidade orbital com o período . Sabemos que a velocidade é distância sobre tempo, então:
Substituindo na equação anterior:
Expandindo o quadrado:

Passo 4

Vamos arrumar essa equação para isolar . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Agora, dividimos ambos os lados por :

Passo 5

Até aqui, chegamos a:
No entanto, estamos trabalhando com órbitas elípticas, onde varia. Nesses casos, usamos o semieixo maior como valor médio da distância. Assim, substituímos por :
E pronto! Isso é exatamente a terceira lei de Kepler.

Resposta

A terceira lei de Kepler é demonstrada como:

Exercícios relacionados

No problema de Kepler, mostre que a energia total das órbitas pode ser escrita em termos da excentricidade , da seguinte forma
Determine: O período das pequenas oscilações radiais ao redor de .
Uma massa pontual está localizada a uma distância da extremidade mais próxima de uma barra fina de massa e comprimento ao longo do eixo da barra. Encontre a força gravitacional exercida na massa pontual pela barra.
Mostre que: O módulo do vetor está relacionado com a excentricidade da forma .