Usando as expressões dos semieixos maior
e do menor
das órbitas elípticas em termos do ponto de estabilidade
e da excentricidade
, isto é
mostre explicitamente a terceira lei de Kepler, isto é, que o período satisfaz
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar a terceira lei de Kepler usando as expressões dos semieixos maior
e menor
das órbitas elípticas, que são dadas em termos do ponto de estabilidade
e da excentricidade
. Ou seja, temos:
Nosso objetivo é chegar à terceira lei de Kepler, que relaciona o período orbital
com o semieixo maior
:
Vamos precisar entender um pouco de mecânica orbital e como esses parâmetros se relacionam para chegar nessa expressão final.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a terceira lei de Kepler relaciona o período de revolução de um planeta ao redor do Sol com o seu semieixo maior da órbita. Para chegar nessa relação, vamos usar a lei da gravitação universal de Newton e as propriedades das órbitas elípticas.
A força gravitacional que mantém o planeta em órbita é igual à força centrípeta necessária para mantê-lo em movimento circular (mesmo que a órbita seja elíptica, podemos considerar a média). A força gravitacional é dada por:
Onde:
-
é a constante gravitacional, -
é a massa do Sol, -
é a massa do planeta, -
é a distância entre o Sol e o planeta.
A força centrípeta é:
Onde
é a velocidade orbital.
Igualando as duas forças:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, vamos relacionar a velocidade orbital
com o período
. Sabemos que a velocidade é distância sobre tempo, então:
Substituindo
na equação anterior:
Expandindo o quadrado:
Passo 4
Vamos arrumar essa equação para isolar
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Agora, dividimos ambos os lados por
:
Passo 5
Até aqui, chegamos a:
No entanto, estamos trabalhando com órbitas elípticas, onde
varia. Nesses casos, usamos o semieixo maior
como valor médio da distância. Assim, substituímos
por
:
E pronto! Isso é exatamente a terceira lei de Kepler.
Resposta
A terceira lei de Kepler é demonstrada como:
Exercícios relacionados
No problema de Kepler, mostre que a energia total das órbitas pode ser escrita em termos da excentricidade
, da seguinte forma
Determine: O período das pequenas oscilações radiais ao redor de
.
Uma massa pontual
está localizada a uma distância
da extremidade mais próxima de uma barra fina de massa
e comprimento
ao longo do eixo da barra. Encontre a força gravitacional exercida na massa pontual pela barra.
Mostre que: O módulo do vetor está relacionado com a excentricidade da forma
.