Mostre que, para um movimento em uma reta com aceleração constante , velocidade inicial e deslocamento inicial , o des-

Passo 1

Então, o enunciado fala sobre um movimento em uma reta onde a aceleração é constante . A gente tem uma velocidade inicial e um deslocamento inicial . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a fórmula que relaciona o deslocamento com o tempo nesse cenário.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que aceleração constante significa que a mudança na velocidade ao longo do tempo é sempre a mesma. Matemática e graciosamente, isso dá pra gente uma equação simples para a velocidade em função do tempo:
Aqui, é a velocidade em qualquer tempo .

Passo 3

Agora, pra achar o deslocamento, precisamos ver como essa velocidade se acumula ao longo do tempo. Pra isso, a gente integra a função da velocidade com relação ao tempo. Basicamente, estamos somando todas as pequenas mudancinhas de deslocamento que acontecem a cada instante.
Onde é o deslocamento no tempo e é uma variável de integração.

Passo 4

Vamos substituir a expressão de na integral:
Agora, a gente tem que resolver essa integral pra achar uma expressão mais prática.

Passo 5

Resolvendo a integral:
Aqui, a gente integrou termo a termo: a integral de é e a integral de é .

Resposta

A expressão para o deslocamento em função do tempo é:

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