Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)
22. f(x) = (2 + x^2) / (1 + x^2)

Passo 1

Vamos ver qual é o problema: precisamos encontrar a primitiva mais geral da função . Isso faz parte do estudo de cálculo integral, onde buscamos encontrar uma função cuja derivada seja a função dada. Para resolver isso, vamos simplificar a expressão e então integrar os termos obtidos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração . Observe que tanto o numerador quanto o denominador têm , então podemos separar a fração:

Passo 3

Agora que simplificamos a função, temos:
Isso facilita a integração, pois podemos integrar cada termo separadamente.

Passo 4

Vamos integrar cada termo:
  1. Integral de 1:
  1. Integral de :
Isso porque sabemos que a derivada de é .

Passo 5

Somando as integrais dos dois termos, temos:

Resposta

A primitiva mais geral de é:
Onde é a constante de integração.

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