Mostre que para uma onda eletromagnética plana de frequência
se propagando no espaço livre, o vetor de onda
satisfaz as seguintes condições: a)
, b)
, c)
; d)
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma onda eletromagnética plana com frequência
se propagando no espaço livre. O exercício quer que a gente mostre que o vetor de onda
satisfaz quatro condições específicas envolvendo os vetores
,
,
,
e a corrente
. Para resolver isso, vamos utilizar as equações de Maxwell para ondas eletromagnéticas no vácuo e algumas propriedades de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das equações de Maxwell no espaço livre (sem cargas livres nem correntes):
Como estamos lidando com ondas planas, podemos expressar as derivadas espaciais usando o vetor de onda
e as derivadas temporais usando a frequência
.
Passo 3
Para uma onda plana, os campos elétrico e magnético podem ser escritos como funções do tipo
e similares para
,
, e
. Isso nos permite substituir as derivadas por multiplicações:
Passo 4
Vamos aplicar isso na primeira equação de Maxwell:
Simplificando:
Isso mostra a condição a) que queríamos provar.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda equação de Maxwell:
Simplificando:
Essa é a condição b) que precisamos mostrar.
Passo 6
Vamos para a terceira equação de Maxwell:
Dividindo ambos os lados por
:
Essa é a condição c) que o exercício pediu.
Passo 7
Por fim, a quarta equação de Maxwell no espaço livre é:
Usando as substituições para ondas planas:
Dividindo ambos os lados por
:
Se considerarmos que
é a corrente livre e no espaço livre
, a equação se torna:
Essa é a condição d) que queríamos demonstrar.
Resposta
Mostramos que, para uma onda eletromagnética plana no espaço livre, o vetor de onda
satisfaz as condições:
a)
b)
c)
d)