Mostre que para uma onda eletromagnética plana de frequência omega se propagando no espaço livre, o vetor de onda k satisfaz as seguintes condições: a) k cdot D=0, b) k cdot B=0, c) k times E=omega B; d) k times H+omega D=J.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma onda eletromagnética plana com frequência omega se propagando no espaço livre. O exercício quer que a gente mostre que o vetor de onda k satisfaz quatro condições específicas envolvendo os vetores D, B, E, H e a corrente J. Para resolver isso, vamos utilizar as equações de Maxwell para ondas eletromagnéticas no vácuo e algumas propriedades de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das equações de Maxwell no espaço livre (sem cargas livres nem correntes):
  1. nabla cdot D = 0
  2. nabla cdot B = 0
  3. nabla times E = -partial Bpartial t
  4. nabla times H = partial Dpartial t
Como estamos lidando com ondas planas, podemos expressar as derivadas espaciais usando o vetor de onda k e as derivadas temporais usando a frequência omega.

Passo 3

Para uma onda plana, os campos elétrico e magnético podem ser escritos como funções do tipo E e^i(k cdot r - omega t) e similares para B, D, e H. Isso nos permite substituir as derivadas por multiplicações:
  • nabla ik
  • partialpartial t -iomega

Passo 4

Vamos aplicar isso na primeira equação de Maxwell:
nabla cdot D = 0 Rightarrow ik cdot D = 0
Simplificando:
k cdot D = 0
Isso mostra a condição a) que queríamos provar.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda equação de Maxwell:
nabla cdot B = 0 Rightarrow ik cdot B = 0
Simplificando:
k cdot B = 0
Essa é a condição b) que precisamos mostrar.

Passo 6

Vamos para a terceira equação de Maxwell:
nabla times E = -partial Bpartial t Rightarrow ik times E = iomega B
Dividindo ambos os lados por i:
k times E = omega B
Essa é a condição c) que o exercício pediu.

Passo 7

Por fim, a quarta equação de Maxwell no espaço livre é:
nabla times H = partial Dpartial t
Usando as substituições para ondas planas:
ik times H = -iomega D
Dividindo ambos os lados por i:
k times H = -omega D
Se considerarmos que J é a corrente livre e no espaço livre J = 0, a equação se torna:
k times H + omega D = J
Essa é a condição d) que queríamos demonstrar.

Resposta

Mostramos que, para uma onda eletromagnética plana no espaço livre, o vetor de onda k satisfaz as condições:
a) k cdot D = 0
b) k cdot B = 0
c) k times E = omega B
d) k times H + omega D = J

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