Calcule o campo magnético e o vetor de Poynting associado a onda eletromagnética E= x E0 cos (omega(raizvarepsilon mu z-t))+y E0 cos (omega(raizvarepsilon mu z-t)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o campo magnético e o vetor de Poynting para uma onda eletromagnética dada por:
E = x E0 cos (omega(raizvarepsilon mu, z - t)) + y E0 cos (omega(raizvarepsilon mu, z - t))
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com ondas eletromagnéticas, que envolvem os campos elétrico ( E) e magnético ( B). O vetor de Poynting ( S) representa a direção e a intensidade do fluxo de energia da onda.
O que vamos precisar:
  1. Relações entre os campos E e B em ondas eletromagnéticas.
  2. A definição do vetor de Poynting.
  3. Algumas propriedades de vetores e produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o campo magnético B associado à nossa onda eletromagnética. Sabemos que, em uma onda plana que se propaga no vácuo ou em um meio homogêneo, os campos E e B são perpendiculares entre si e à direção de propagação.
A relação entre E e B é dada por:
B = 1v k times E
Onde:
  • v é a velocidade de propagação da onda.
  • k é o vetor unitário na direção de propagação.
No nosso caso, a onda está se propagando na direção z, então k = z. A velocidade de propagação v em um meio com permissividade varepsilon e permeabilidade mu é:
v = 1raizvarepsilon mu
Vamos aplicar isso para encontrar B.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial z times E:
z times E = z times ( x E0 cos(omega(raizvarepsilon mu, z - t)) + y E0 cos(omega(raizvarepsilon mu, z - t)) )
Sabemos que:
z times x = y e z times y = -x
Portanto:
z times E = y E0 cos(omega(raizvarepsilon mu, z - t)) - x E0 cos(omega(raizvarepsilon mu, z - t))
Agora, substituindo na equação de B:
B = 1v ( y E0 cos(omega(raizvarepsilon mu, z - t)) - x E0 cos(omega(raizvarepsilon mu, z - t)) )
Substituindo v = 1raizvarepsilon mu:
B = raizvarepsilon mu ( y E0 cos(omega(raizvarepsilon mu, z - t)) - x E0 cos(omega(raizvarepsilon mu, z - t)) )

Passo 4

Agora que temos E e B, vamos calcular o vetor de Poynting S, que representa o fluxo de energia da onda eletromagnética.
A fórmula para o vetor de Poynting é:
S = 1mu E times B
Vamos calcular esse produto vetorial passo a passo.
Primeiro, substituímos E e B:
S = 1mu ( x E0 cos(omega(raizvarepsilon mu, z - t)) + y E0 cos(omega(raizvarepsilon mu, z - t)) ) times ( raizvarepsilon mu ( y E0 cos(omega(raizvarepsilon mu, z - t)) - x E0 cos(omega(raizvarepsilon mu, z - t)) ) )
Simplificando:
S = raizvarepsilon mumu E0^2 cos^2(omega(raizvarepsilon mu, z - t)) ( x + y ) times ( y - x )

Passo 5

Agora, vamos solucionar o produto vetorial (x + y) times (y - x):
x times y = z ; x times (-x) = 0
y times y = 0 ; y times (-x) = z
Portanto:
(x + y) times (y - x) = x times y - x times x + y times y - y times x = z + z = 2z
Substituindo de volta na expressão de S:
S = raizvarepsilon mumu E0^2 cos^2(omega(raizvarepsilon mu, z - t)) cdot 2z
Simplificando raizvarepsilon mumu:
raizvarepsilon mumu = raizvarepsilonraizmu = raizvarepsilonmu
Então:
S = 2 raizvarepsilonmu E0^2 cos^2(omega(raizvarepsilon mu, z - t)) z

Resposta

O campo magnético associado à onda eletromagnética é:
B = raizvarepsilon mu ( y E0 cos(omega(raizvarepsilon mu, z - t)) - x E0 cos(omega(raizvarepsilon mu, z - t)) )
E o vetor de Poynting da onda é:
S = 2 raizvarepsilonmu E0^2 cos^2(omega(raizvarepsilon mu, z - t)) z
Isso representa a direção e a intensidade do fluxo de energia transportado pela onda eletromagnética na direção z.

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