Calcule o campo magnético e o vetor de Poynting associado a onda eletromagnética
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o campo magnético e o vetor de Poynting para uma onda eletromagnética dada por:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com ondas eletromagnéticas, que envolvem os campos elétrico (
) e magnético (
). O vetor de Poynting (
) representa a direção e a intensidade do fluxo de energia da onda.
O que vamos precisar:
- Relações entre os campos
e em ondas eletromagnéticas. - A definição do vetor de Poynting.
- Algumas propriedades de vetores e produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o campo magnético
associado à nossa onda eletromagnética. Sabemos que, em uma onda plana que se propaga no vácuo ou em um meio homogêneo, os campos
e
são perpendiculares entre si e à direção de propagação.
A relação entre
e
é dada por:
Onde:
-
é a velocidade de propagação da onda. -
é o vetor unitário na direção de propagação.
No nosso caso, a onda está se propagando na direção
, então
. A velocidade de propagação
em um meio com permissividade
e permeabilidade
é:
Vamos aplicar isso para encontrar
.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial
:
Sabemos que:
Portanto:
Agora, substituindo na equação de
:
Substituindo
:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos calcular o vetor de Poynting
, que representa o fluxo de energia da onda eletromagnética.
A fórmula para o vetor de Poynting é:
Vamos calcular esse produto vetorial passo a passo.
Primeiro, substituímos
e
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos solucionar o produto vetorial
:
Portanto:
Substituindo de volta na expressão de
:
Simplificando
:
Então:
Resposta
O campo magnético associado à onda eletromagnética é:
E o vetor de Poynting da onda é:
Isso representa a direção e a intensidade do fluxo de energia transportado pela onda eletromagnética na direção
.