Considere uma onda eletromagnética plana cujo campo elétrico é dado por E= widehatx E0 cos (k z-omega t)+y E0 cos (k z-omega t). Determine o campo magnético, o potencial escalar elétrico, o potencial vetor magnético associados a esta onda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma onda eletromagnética plana com um campo elétrico específico e pede para determinar três coisas: o campo magnético, o potencial escalar elétrico e o potencial vetor magnético dessa onda. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campos eletromagnéticos e as equações de Maxwell que descrevem como os campos elétrico e magnético se relacionam. Não se preocupe se isso parece complicado agora; vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos focar em determinar o campo magnético associado à onda eletromagnética. Sabemos que, em uma onda eletromagnética plana que se propaga no sentido $ z z é \vec{E} E é \vec{B} $) são perpendiculares entre si e também perpendiculares à direção de propagação.
Além disso, a relação entre $ \vec{E} $ e $ \vec{B} $ em uma onda que se propaga no vácuo é dada por:
B
onde:
  • $ c $ é a velocidade da luz,
  • $ \hat{k} $ é o vetor unitário na direção de propagação da onda (neste caso, $ \hat{z} $),
  • $ \times $ representa o produto vetorial.
Vamos aplicar essa relação.

Passo 3

Dado o campo elétrico:
E = x E0 cos(k z - omega t) + y E0 cos(k z - omega t)
Podemos fatorar o $ E_{0} \cos(k z - \omega t) $:
E0 cos(k z - omega t)
Agora, aplicamos a fórmula para $ \vec{B} $:
E = E0 cos(k z - omega t) (x + y)
Calculando o produto vetorial $ \hat{z} \times (\hat{x} + \hat{y}) $:
B
B = 1c z times E
Então,
z times (x + y)
Portanto,
z times x = y

Passo 4

Agora, vamos determinar o potencial escalar elétrico ($ V V é \vec{A} $) associados à onda. Para isso, usamos as relações:
A
E = -nabla V - partial Apartial t
Em ondas eletromagnéticas no vácuo, podemos escolher um sistema de referência onde o potencial escalar elétrico $ V $ é zero. Isso simplifica as equações e ainda representa corretamente a onda.

Passo 5

Assumindo que $ V = 0 $, a equação para $ \vec{E} $ fica:
V = 0
Podemos agora resolver para $ \vec{A} $:
E
Integrando em relação ao tempo, e considerando que $ \vec{A} $ deve ter a mesma forma sinusoidal que $ \vec{E} $, obtemos:
E = - partial Apartial t
Substituindo $ \vec{E} $:
A

Passo 6

Vamos resumir tudo agora:
  • Campo Magnético ($ \vec{B} $):
B
  • Potencial Escalar Elétrico ($ V $):
B = E0c cos(k z - omega t) (-x + y)
  • Potencial Vetor Magnético ($ \vec{A} $):
V

Resposta

O campo magnético é $ \vec{B} = \frac{E_{0}}{c} \cos(k z - \omega t) (-\hat{x} + \hat{y}) $, o potencial escalar elétrico é $ V = 0 $ e o potencial vetor magnético é $ \vec{A} = \frac{E_{0}}{\omega} (\hat{x} + \hat{y}) \sin(k z - \omega t) $.

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