Considere uma onda eletromagnética plana cujo campo elétrico é dado por
. Determine o campo magnético, o potencial escalar elétrico, o potencial vetor magnético associados a esta onda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma onda eletromagnética plana com um campo elétrico específico e pede para determinar três coisas: o campo magnético, o potencial escalar elétrico e o potencial vetor magnético dessa onda. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campos eletromagnéticos e as equações de Maxwell que descrevem como os campos elétrico e magnético se relacionam. Não se preocupe se isso parece complicado agora; vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos focar em determinar o campo magnético associado à onda eletromagnética. Sabemos que, em uma onda eletromagnética plana que se propaga no sentido $ z
\vec{E}
\vec{B} $) são perpendiculares entre si e também perpendiculares à direção de propagação.
Além disso, a relação entre $ \vec{E} $ e $ \vec{B} $ em uma onda que se propaga no vácuo é dada por:
onde:
- $ c $ é a velocidade da luz,
- $ \hat{k} $ é o vetor unitário na direção de propagação da onda (neste caso, $ \hat{z} $),
- $ \times $ representa o produto vetorial.
Vamos aplicar essa relação.
Passo 3
Dado o campo elétrico:
Podemos fatorar o $ E_{0} \cos(k z - \omega t) $:
Agora, aplicamos a fórmula para $ \vec{B} $:
Calculando o produto vetorial $ \hat{z} \times (\hat{x} + \hat{y}) $:
Então,
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos determinar o potencial escalar elétrico ($ V
\vec{A} $) associados à onda. Para isso, usamos as relações:
Em ondas eletromagnéticas no vácuo, podemos escolher um sistema de referência onde o potencial escalar elétrico $ V $ é zero. Isso simplifica as equações e ainda representa corretamente a onda.
Passo 5
Assumindo que $ V = 0 $, a equação para $ \vec{E} $ fica:
Podemos agora resolver para $ \vec{A} $:
Integrando em relação ao tempo, e considerando que $ \vec{A} $ deve ter a mesma forma sinusoidal que $ \vec{E} $, obtemos:
Substituindo $ \vec{E} $:
Passo 6
Vamos resumir tudo agora:
- Campo Magnético ($ \vec{B} $):
- Potencial Escalar Elétrico ($ V $):
- Potencial Vetor Magnético ($ \vec{A} $):
Resposta
O campo magnético é $ \vec{B} = \frac{E_{0}}{c} \cos(k z - \omega t) (-\hat{x} + \hat{y}) $, o potencial escalar elétrico é $ V = 0 $ e o potencial vetor magnético é $ \vec{A} = \frac{E_{0}}{\omega} (\hat{x} + \hat{y}) \sin(k z - \omega t) $.