Mostre que o produto tensorial de dois operadores hermitianos é hermitiano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o produto tensorial de dois operadores hermitianos também é hermitiano. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente operadores hermitianos e produto tensorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um operador ser hermitiano e como funciona o produto tensorial entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um operador hermitiano. Um operador $ A $ é hermitiano se ele é igual ao seu adjunto, ou seja:
Isso significa que, ao transpor e complexificar o operador, ele permanece o mesmo.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o produto tensorial. Se temos dois operadores $ A $ e $ B $, o produto tensorial deles é denotado por $ A \otimes B $. Basicamente, isso cria um novo operador que atua no espaço tensorial dos espaços onde $ A $ e $ B $ atuam.
Passo 4
Nosso objetivo é mostrar que se $ A $ e $ B $ são hermitianos, então $ A \otimes B $ também é hermitiano. Para isso, precisamos calcular o adjunto de $ A \otimes B $ e ver se ele é igual a $ A \otimes B $.
Passo 5
Sabemos que o adjunto do produto tensorial é dado por:
Ou seja, o adjunto do produto tensorial é o produto tensorial dos adjuntos.
Passo 6
Como $ A $ e $ B $ são hermitianos, temos que:
Substituindo isso na expressão do adjunto do produto tensorial, ficamos com:
Passo 7
Então, mostramos que:
Isso significa exatamente que $ A \otimes B $ é hermitiano, pois é igual ao seu próprio adjunto.
Resposta
Portanto, provamos que o produto tensorial de dois operadores hermitianos $ A $ e $ B $ também é hermitiano, ou seja: