Mostre que o produto tensorial de dois operadores hermitianos é hermitiano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o produto tensorial de dois operadores hermitianos também é hermitiano. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente operadores hermitianos e produto tensorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um operador ser hermitiano e como funciona o produto tensorial entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um operador hermitiano. Um operador $ A $ é hermitiano se ele é igual ao seu adjunto, ou seja:
A
Isso significa que, ao transpor e complexificar o operador, ele permanece o mesmo.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o produto tensorial. Se temos dois operadores $ A $ e $ B $, o produto tensorial deles é denotado por $ A \otimes B $. Basicamente, isso cria um novo operador que atua no espaço tensorial dos espaços onde $ A $ e $ B $ atuam.

Passo 4

Nosso objetivo é mostrar que se $ A $ e $ B $ são hermitianos, então $ A \otimes B $ também é hermitiano. Para isso, precisamos calcular o adjunto de $ A \otimes B $ e ver se ele é igual a $ A \otimes B $.

Passo 5

Sabemos que o adjunto do produto tensorial é dado por:
(A otimes B)^dag>=r = A^dag>=r otimes B^dag>=r
Ou seja, o adjunto do produto tensorial é o produto tensorial dos adjuntos.

Passo 6

Como $ A $ e $ B $ são hermitianos, temos que:
A
B
Substituindo isso na expressão do adjunto do produto tensorial, ficamos com:
A^dag>=r = A

Passo 7

Então, mostramos que:
(A otimes B)^dag>=r = A otimes B
Isso significa exatamente que $ A \otimes B $ é hermitiano, pois é igual ao seu próprio adjunto.

Resposta

Portanto, provamos que o produto tensorial de dois operadores hermitianos $ A $ e $ B $ também é hermitiano, ou seja:
A é

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