Considere a porta Rz(theta), que realiza uma rotação em torno do eixo z por um ângulo theta, definida como:
Rz(theta)|0rang<==|0rang<=, Rz(theta)|1rang<==e^i theta|1rang<=
As portas Z, S, e T são casos específicos da Rz(theta), com:
Z=Rz(pi), S=Rz(pi2), T=Rz(pi4)
Dado o estado quântico normalizado |psirang<==alpha|0rang<=+beta|1rang<=, com |alpha|^2+|beta|^2=1 :
(a) Calcule Rz(theta)|psirang<=.
(b) Mostre que a probabilidade total de Rz(theta)|psirang<= é 1 , provando que Rz(theta) é uma porta quântica válida. Conclua que Z, S e T também são portas quânticas válidas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a porta quântica Rz(theta), que faz uma rotação em torno do eixo z no espaço de estados quânticos. Precisamos calcular como essa porta age sobre um estado quântico qualquer |psirang<= = alpha|0rang<= + beta|1rang<=. Além disso, vamos verificar se essa porta mantém a probabilidade total igual a 1, o que confirma que ela é válida. Também vamos ver que as portas Z, S e T são casos especiais dessa porta Rz(theta).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a porta Rz(theta). Ela age nos estados básicos |0rang<= e |1rang<= da seguinte maneira:
Rz(theta)|0rang<= = |0rang<=, Rz(theta)|1rang<= = e^i theta|1rang<=
Isso significa que, ao aplicar Rz(theta), o estado |0rang<= permanece igual, e o estado |1rang<= ganha um fator de fase e^i theta.

Passo 3

Agora, vamos aplicar Rz(theta) no estado geral |psirang<= = alpha|0rang<= + beta|1rang<=. Usando a definição da porta, temos:
Rz(theta)|psirang<= = Rz(theta)(alpha|0rang<= + beta|1rang<=) = alpha Rz(theta)|0rang<= + beta Rz(theta)|1rang<=
Substituindo pela ação da porta:
= alpha |0rang<= + beta e^i theta |1rang<=

Passo 4

Então, o resultado da aplicação de Rz(theta) no estado |psirang<= é:
Rz(theta)|psirang<= = alpha|0rang<= + beta e^i theta|1rang<=

Passo 5

Agora, vamos verificar se essa operação mantém a probabilidade total igual a 1. A probabilidade total de um estado quântico é dada pela soma dos quadrados dos módulos dos coeficientes:
|alpha|^2 + |beta|^2 = 1
Depois da aplicação de Rz(theta), o estado se torna:
|psi'rang<= = alpha|0rang<= + beta e^i theta|1rang<=
A probabilidade total agora é:
|alpha|^2 + |beta e^i theta|^2 = |alpha|^2 + |beta|^2 |e^i theta|^2
Sabemos que |e^i theta| = 1, então:
|alpha|^2 + |beta|^2 times 1 = |alpha|^2 + |beta|^2 = 1

Passo 6

Como a probabilidade total permanece 1 após a aplicação de Rz(theta), isso confirma que Rz(theta) é uma porta quântica válida.
Além disso, as portas Z, S e T são casos específicos dessa porta, com theta = pi, theta = pi2 e theta = pi4 respectivamente. Como elas são apenas casos particulares de Rz(theta), elas também mantêm a probabilidade total igual a 1 e, portanto, são portas quânticas válidas.

Resposta

(a) Após aplicar Rz(theta) no estado |psirang<=, obtemos:
Rz(theta)|psirang<= = alpha|0rang<= + beta e^i theta|1rang<=
(b) A probabilidade total de Rz(theta)|psirang<= é 1, já que:
|alpha|^2 + |beta|^2 = 1
Isso confirma que Rz(theta) é uma porta quântica válida. Como Z, S e T são casos específicos de Rz(theta), eles também são portas quânticas válidas.

Exercícios relacionados