Considere a porta
, que realiza uma rotação em torno do eixo
por um ângulo
, definida como:
As portas
, e
são casos específicos da
, com:
Dado o estado quântico normalizado
, com
:
(a) Calcule
.
(b) Mostre que a probabilidade total de
é 1 , provando que
é uma porta quântica válida. Conclua que
e
também são portas quânticas válidas.
(a) Calcule
(b) Mostre que a probabilidade total de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a porta quântica
, que faz uma rotação em torno do eixo z no espaço de estados quânticos. Precisamos calcular como essa porta age sobre um estado quântico qualquer
. Além disso, vamos verificar se essa porta mantém a probabilidade total igual a 1, o que confirma que ela é válida. Também vamos ver que as portas
,
e
são casos especiais dessa porta
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a porta
. Ela age nos estados básicos
e
da seguinte maneira:
Isso significa que, ao aplicar
, o estado
permanece igual, e o estado
ganha um fator de fase
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar
no estado geral
. Usando a definição da porta, temos:
Substituindo pela ação da porta:
Passo 4
Então, o resultado da aplicação de
no estado
é:
Passo 5
Agora, vamos verificar se essa operação mantém a probabilidade total igual a 1. A probabilidade total de um estado quântico é dada pela soma dos quadrados dos módulos dos coeficientes:
Depois da aplicação de
, o estado se torna:
A probabilidade total agora é:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Como a probabilidade total permanece 1 após a aplicação de
, isso confirma que
é uma porta quântica válida.
Além disso, as portas
,
e
são casos específicos dessa porta, com
,
e
respectivamente. Como elas são apenas casos particulares de
, elas também mantêm a probabilidade total igual a 1 e, portanto, são portas quânticas válidas.
Resposta
(a) Após aplicar
no estado
, obtemos:
(b) A probabilidade total de
é 1, já que:
Isso confirma que
é uma porta quântica válida. Como
,
e
são casos específicos de
, eles também são portas quânticas válidas.