Um operador
é dito ser normal se
. Mostre que todo operador Hermitiano é também normal.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um operador $ A $ que é chamado de normal se ele satisfaz a condição $ A A^{\dagger} = A^{\dagger} A $. A pergunta é para mostrar que todo operador Hermitiano também é normal. Então, vamos precisar entender o que é um operador Hermitiano e como usamos essa propriedade para provar que ele é normal.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um operador Hermitiano. Um operador $ A $ é Hermitiano se ele é igual ao seu adjunto, ou seja, $ A = A^{\dagger} $. O adjunto $ A^{\dagger} $ basicamente é a transposta conjugada de $ A $. Em termos mais simples, se você imaginar uma matriz, o adjunto seria a matriz transposta com todos os elementos complexos conjugados.
Passo 3
Agora que sabemos que $ A $ é Hermitiano, ou seja, $ A = A^{\dagger} $, vamos usar isso para mostrar que $ A $ também é normal. A definição de normalidade é que $ A A^{\dagger} = A^{\dagger} A $. Vamos substituir $ A^{\dagger} $ por $ A $ na equação, já que $ A = A^{\dagger} $.
Então temos:
E também:
Portanto, $ A A^{\dagger} = A^{\dagger} A $, o que mostra que $ A $ é normal.
Resposta
Assim, demostramos que todo operador Hermitiano satisfaz a condição de normalidade $ A A^{\dagger} = A^{\dagger} A $. Ou seja, todo operador Hermitiano é também normal.