Mostre que
satisfaz a equação de Schroedinger para uma partícula em um poço quadrado infinito de largura L. Indique a expressão para
(relacionada com a energia) e a expressão para os possíveis valores de k (relacionados com a largura do poço). (R:
;
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício de física quântica juntos. A questão pede para mostrar que a função
satisfaz a equação de Schrödinger para uma partícula em um poço quadrado infinito de largura
. Além disso, precisamos encontrar a expressão para
relacionada à energia e os possíveis valores de
que dependem da largura do poço. Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre soluções da equação de Schrödinger em potenciais infinitos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger para uma partícula em um potencial
. No caso de um poço quadrado infinito, o potencial é zero dentro do poço (
) e infinito fora dele. A equação de Schrödinger independente do tempo é:
Dentro do poço,
, então a equação simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos substituir a função proposta
na equação simplificada. Primeiro, calculamos a segunda derivada de
:
Substituindo na equação de Schrödinger:
Passo 4
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(desde que
e
dentro do poço):
Isso nos dá a relação entre
e a energia
da partícula:
Passo 5
Agora, para encontrar os possíveis valores de
, precisamos considerar as condições de contorno do poço infinito. Como o potencial é infinito fora do poço, a função de onda
deve ser zero nas paredes do poço, ou seja:
Aplicando
:
Para que isso seja verdadeiro, o argumento do seno deve ser múltiplo de
:
Resolvendo para
:
Resposta
A função
satisfaz a equação de Schrödinger para uma partícula em um poço quadrado infinito de largura
se
for dado por:
E os possíveis valores de
são: