Mostre que satisfaz a equação de Schroedinger para uma partícula em um poço quadrado infinito de largura L. Indique a expressão para (relacionada com a energia) e a expressão para os possíveis valores de k (relacionados com a largura do poço). (R: ;

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de física quântica juntos. A questão pede para mostrar que a função satisfaz a equação de Schrödinger para uma partícula em um poço quadrado infinito de largura . Além disso, precisamos encontrar a expressão para relacionada à energia e os possíveis valores de que dependem da largura do poço. Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre soluções da equação de Schrödinger em potenciais infinitos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger para uma partícula em um potencial . No caso de um poço quadrado infinito, o potencial é zero dentro do poço ( ) e infinito fora dele. A equação de Schrödinger independente do tempo é:
Dentro do poço, , então a equação simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos substituir a função proposta na equação simplificada. Primeiro, calculamos a segunda derivada de :
Substituindo na equação de Schrödinger:

Passo 4

Podemos simplificar dividindo ambos os lados por (desde que e dentro do poço):
Isso nos dá a relação entre e a energia da partícula:

Passo 5

Agora, para encontrar os possíveis valores de , precisamos considerar as condições de contorno do poço infinito. Como o potencial é infinito fora do poço, a função de onda deve ser zero nas paredes do poço, ou seja:
Aplicando :
Para que isso seja verdadeiro, o argumento do seno deve ser múltiplo de :
Resolvendo para :

Resposta

A função satisfaz a equação de Schrödinger para uma partícula em um poço quadrado infinito de largura se for dado por:
E os possíveis valores de são:

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