Mostre que Psi(x)=A sen(k x) satisfaz a equação de Schroedinger para uma partícula em um poço quadrado infinito de largura L. Indique a expressão para k (relacionada com a energia) e a expressão para os possíveis valores de k (relacionados com a largura do poço). (R: k=raiz2 m Ehbar; k=n piL)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de física quântica juntos. A questão pede para mostrar que a função Psi(x) = A sen(k x) satisfaz a equação de Schrödinger para uma partícula em um poço quadrado infinito de largura L. Além disso, precisamos encontrar a expressão para k relacionada à energia e os possíveis valores de k que dependem da largura do poço. Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre soluções da equação de Schrödinger em potenciais infinitos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger para uma partícula em um potencial V(x). No caso de um poço quadrado infinito, o potencial é zero dentro do poço ( 0 < x < L) e infinito fora dele. A equação de Schrödinger independente do tempo é:
- hbar^22m d^2 Psi(x)dx^2 + V(x) Psi(x) = E Psi(x)
Dentro do poço, V(x) = 0, então a equação simplifica para:
- hbar^22m d^2 Psi(x)dx^2 = E Psi(x)

Passo 3

Agora, vamos substituir a função proposta Psi(x) = A sen(k x) na equação simplificada. Primeiro, calculamos a segunda derivada de Psi(x):
d Psi(x)dx = A k cos(k x)
d^2 Psi(x)dx^2 = -A k^2 sen(k x)
Substituindo na equação de Schrödinger:
- hbar^22m (-A k^2 sen(k x)) = E A sen(k x)
hbar^2 k^22m A sen(k x) = E A sen(k x)

Passo 4

Podemos simplificar dividindo ambos os lados por A sen(k x) (desde que A neq 0 e sen(k x) neq 0 dentro do poço):
hbar^2 k^22m = E
Isso nos dá a relação entre k e a energia E da partícula:
k = raiz2mEhbar

Passo 5

Agora, para encontrar os possíveis valores de k, precisamos considerar as condições de contorno do poço infinito. Como o potencial é infinito fora do poço, a função de onda Psi(x) deve ser zero nas paredes do poço, ou seja:
Psi(0) = 0 e Psi(L) = 0
Aplicando Psi(L) = 0:
A sen(k L) = 0
Para que isso seja verdadeiro, o argumento do seno deve ser múltiplo de pi:
k L = n pi onde n = 1, 2, 3, dots
Resolvendo para k:
k = n piL

Resposta

A função Psi(x) = A sen(k x) satisfaz a equação de Schrödinger para uma partícula em um poço quadrado infinito de largura L se k for dado por:
k = raiz2mEhbar
E os possíveis valores de k são:
k = n piL onde n = 1, 2, 3, dots

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