Mostre que o raio de curvatura da trajetória de uma partícula, que se move perpendicularmente a um campo magnético, é proporcional ao seu momento linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o raio de curvatura da trajetória de uma partícula que está se movendo perpendicularmente a um campo magnético é proporcional ao seu momento linear. Isso está dentro do conteúdo de Eletromagnetismo, mais especificamente sobre o movimento de partículas carregadas em campos magnéticos. Para resolver isso, vamos precisar entender a força magnética que atua sobre a partícula, a relação entre força centrípeta e movimento circular, e como o momento linear se relaciona com essas grandezas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando uma partícula carregada se move em um campo magnético, ela sofre a força de Lorentz. A fórmula da força magnética é:
F = q , v times B
Como a partícula está se movendo perpendicularmente ao campo magnético, o módulo da força fica:
F = q , v , B

Passo 3

Essa força magnética está sempre perpendicular à velocidade da partícula, o que faz com que a partícula se mova em trajetória circular. Para uma trajetória circular, a força responsável por manter o movimento é a força centrípeta, dada por:
Fcentrípeta = m , v^2r í
Onde:
- $ m $ é a massa da partícula,
- $ v $ é a velocidade,
- $ r $ é o raio da trajetória.

Passo 4

Como a força magnética está fornecendo a força centrípeta, podemos igualar as duas expressões:
q , v , B = m , v^2r
Agora, vamos simplificar essa equação para encontrar uma relação entre $ r $ e os demais termos.

Passo 5

Dividindo ambos os lados por $ v $, temos:
v
Agora, vamos isolar $ r $:
q , B = m , vr

Passo 6

O momento linear $ p $ da partícula é definido como:
p
Substituindo isso na expressão do raio:
p = m , v

Resposta

Então, mostramos que o raio de curvatura $ r $ é proporcional ao momento linear $ p $ da partícula:
r
Isso confirma que $ r $ é proporcional a $ p $.

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