Mostre que o raio de curvatura da trajetória de uma partícula, que se move perpendicularmente a um campo magnético, é proporcional ao seu momento linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o raio de curvatura da trajetória de uma partícula que está se movendo perpendicularmente a um campo magnético é proporcional ao seu momento linear. Isso está dentro do conteúdo de Eletromagnetismo, mais especificamente sobre o movimento de partículas carregadas em campos magnéticos. Para resolver isso, vamos precisar entender a força magnética que atua sobre a partícula, a relação entre força centrípeta e movimento circular, e como o momento linear se relaciona com essas grandezas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando uma partícula carregada se move em um campo magnético, ela sofre a força de Lorentz. A fórmula da força magnética é:
Como a partícula está se movendo perpendicularmente ao campo magnético, o módulo da força fica:
Passo 3
Essa força magnética está sempre perpendicular à velocidade da partícula, o que faz com que a partícula se mova em trajetória circular. Para uma trajetória circular, a força responsável por manter o movimento é a força centrípeta, dada por:
Onde:
- $ m $ é a massa da partícula,
- $ v $ é a velocidade,
- $ r $ é o raio da trajetória.
Passo 4
Como a força magnética está fornecendo a força centrípeta, podemos igualar as duas expressões:
Agora, vamos simplificar essa equação para encontrar uma relação entre $ r $ e os demais termos.
Passo 5
Dividindo ambos os lados por $ v $, temos:
Agora, vamos isolar $ r $:
Passo 6
O momento linear $ p $ da partícula é definido como:
Substituindo isso na expressão do raio:
Resposta
Então, mostramos que o raio de curvatura $ r $ é proporcional ao momento linear $ p $ da partícula:
Isso confirma que $ r $ é proporcional a $ p $.