Mostre que as relações da contração espacial do comprimento paralelo ao movimento e da dilatação temporal são consequências das equações de Lorentz.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é mostrar que a contração do comprimento na direção do movimento e a dilatação do tempo são resultados diretos das equações de Lorentz. Isso faz parte da teoria da relatividade especial, que lida com como o espaço e o tempo são afetados pelo movimento. Para resolver isso, vamos usar as equações de Lorentz que conectam as coordenadas de espaço e tempo em dois referenciais diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as equações de Lorentz. Elas relacionam as coordenadas de um evento em dois sistemas de referência que estão em movimento relativo um ao outro com velocidade constante
. As equações são:
Onde:
É o fator de Lorentz, e
é a velocidade da luz.
Passo 3
Vamos começar com a contração do comprimento. Imagine que temos uma régua em repouso no sistema de referência
, medindo seu comprimento
. Queremos medir esse comprimento a partir do sistema
que está se movendo com velocidade
relativa a
.
No sistema
, as extremidades da régua estão em
e
no mesmo instante
. Para encontrar o comprimento no sistema
, usamos a inversa das equações de Lorentz:
Como estamos medindo o comprimento simultaneamente em
,
é o mesmo para as duas extremidades.
Passo 4
Vamos calcular as posições das extremidades no sistema
:
Para
:
Para
:
O comprimento medido em
é
:
Mas para contracção do comprimento, queremos expressar
em termos de
:
Isso mostra que o comprimento medido em
é menor que o comprimento no repouso
.
Passo 5
Agora, vamos para a dilatação do tempo. Imagine que temos um relógio no sistema
, medindo um intervalo de tempo
. Queremos medir esse intervalo a partir do sistema
que está se movendo com velocidade
relativa a
.
Usando a equação de Lorentz para o tempo:
Como o relógio está no repouso em
,
:
Isso significa que o intervalo de tempo medido em
é maior que o intervalo em
.
Resposta
Portanto, mostramos que a contração do comprimento
e a dilatação temporal
são consequências diretas das equações de Lorentz na teoria da relatividade especial.