Mostre que as retas 3x - 5y + 19 = 0 e 10x + 6y - 50 = 0 são perpendiculares e ache o seu ponto de intersecção.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente mostrar que as retas e são perpendiculares e encontrar o ponto onde elas se cruzam. Para isso, vamos precisar entender sobre retas no plano cartesiano, coeficientes angulares (ou pendentes) e como resolver sistemas de equações. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o coeficiente angular (a inclinação) de cada reta. Isso nos ajuda a saber se as retas são perpendiculares. Para isso, vamos deixar as equações na forma , onde é o coeficiente angular.
Para a primeira reta :
Então, o coeficiente angular da primeira reta é .

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para a segunda reta :
Então, o coeficiente angular da segunda reta é .

Passo 4

Para verificar se as retas são perpendiculares, precisamos multiplicar os coeficientes angulares e ver se o resultado é :
Como o produto é , as retas são realmente perpendiculares.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o ponto de intersecção das duas retas. Para isso, vamos resolver o sistema de equações formado pelas duas retas:
Podemos resolver esse sistema usando o método da substituição ou eliminação. Vou usar o método da substituição.
Primeiro, da primeira equação:
Agora, substituímos na segunda equação:
Agora que temos , substituímos de volta para encontrar :

Resposta

As retas são perpendiculares e o ponto de intersecção delas é .

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