Resolva o PVI .

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial (PVI) dado pela equação diferencial , com a condição inicial . Esse exercício envolve o estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos usar técnicas de substituição que ajudam a simplificar a equação e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a manipulação. Multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:
Isso nos leva a uma equação da forma , onde:

Passo 3

Vamos verificar se a equação é exata. Uma equação é exata se .
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Tentamos encontrar um fator integrante que dependa apenas de ou apenas de . A fórmula para o fator integrante quando depende apenas de é:
Substituindo os valores:
Percebi que o denominador ainda depende de , o que significa que não é função apenas de ou apenas de . Portanto, precisamos tentar outra abordagem.

Passo 5

Vamos tentar uma substituição para simplificar a equação. Definimos:
Derivando ambos os lados em relação a :
Substituindo da equação original:
Como , substituímos na expressão:

Passo 6

Agora, temos a equação:
Reorganizando:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 7

Rearranjando os termos:
Factorando :

Passo 8

Dividindo ambos os lados por :
Rearranjando:
Percebo que voltamos à equação anterior, indicando que precisamos de outra abordagem para resolver.

Passo 9

Vamos tentar uma outra substituição. Definimos:
Então, derivando ambos os lados:
Substituindo da equação original:

Passo 10

A equação resultante é:
Rearranjando:
Essa equação ainda é complexa e não facilmente integrável usando métodos elementares, sugerindo que a solução pode envolver técnicas mais avançadas ou métodos numéricos.

Resposta

Após as substituições e tentativas de simplificação, concluímos que a solução geral da equação diferencial com a condição inicial é complexa e pode não ser expressa em termos de funções elementares. Portanto, para obter uma solução específica, pode ser necessário utilizar métodos avançados de resolução de equações diferenciais ou aplicar técnicas numéricas.

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Mostre que as retas e são perpendiculares e ache o seu ponto de intersecção.
(a) Mostre que as intersecções com os eixos e de uma reta são os números e diferentes de zero, então a equação da reta pode ser colocada na forma
Esta equação é chamada a forma a partir das duas intersecções da equação de uma reta.
(b) Use a parte (a) para encontrar a equação da reta cuja intersecção com o eixo é 6 e cuja intersecção com o eixo é -8 .