Use a teoria das funções características para demonstrar que a soma de n variáveis aleatórias
, independentes, tem distribuição
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para usar a teoria das funções características para mostrar que a soma de $ n $ variáveis aleatórias $ \chi_{1}^{2} $, que são independentes, tem distribuição $ \chi_{n}^{2} $. Então, vamos precisar entender o que é uma função característica e como ela se relaciona com a soma de variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função característica. Ela é uma ferramenta matemática que nos ajuda a identificar a distribuição de uma variável aleatória. Para uma variável aleatória $ X $, a função característica é definida como:
onde $ E $ é o valor esperado e $ i $ é a unidade imaginária.
Passo 3
Agora, vamos ver a função característica de uma variável $ \chi_{1}^{2} $. Sabemos que uma distribuição $ \chi_{1}^{2} $ é o mesmo que a distribuição de uma variável normal ao quadrado. A função característica de $ \chi_{1}^{2} $ é:
Passo 4
Como queremos somar $ n $ variáveis independentes $ \chi_{1}^{2} $, precisamos usar uma propriedade importante das funções características: a função característica da soma de variáveis independentes é o produto das suas funções características individuais. Se $ X_1, X_2, \dots, X_n $ são independentes, então:
Passo 5
Aplicando isso ao nosso caso, temos que cada $ X_i $ tem função característica $ \frac{1}{\sqrt{1 - 2it}} $. Então, a função característica da soma $ S = X_1 + X_2 + \dots + X_n $ é:
Passo 6
Agora, vamos lembrar qual é a função característica da distribuição $ \chi_{n}^{2} $. Ela é dada por:
Passo 7
Comparando as duas funções características que encontramos:
elas são exatamente iguais. Isso significa que a soma $ S $ tem a mesma distribuição que $ \chi_{n}^{2} $.
Resposta
Portanto, demonstramos que a soma de $ n $ variáveis aleatórias $ \chi_{1}^{2} $ independentes possui distribuição $ \chi_{n}^{2} $.