Mostre que para satisfazer a condição para a densidade de probabilidade no caso de duas partículas indistinguíveis em posições
e
, isto é:
as funções de onda precisam ser combinações simétrica e anti simétrica dos produtos das funções individuais:
Qual dessas combinações representa os férmions? Qual representa os bósons? (Justifique sua resposta)
Qual dessas combinações representa os férmions? Qual representa os bósons? (Justifique sua resposta)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre funções de onda de duas partículas indistinguíveis. O objetivo aqui é mostrar que, para que a densidade de probabilidade seja a mesma quando trocamos as partículas de lugar, as funções de onda precisam ser combinações simétricas ou anti-simétricas das funções individuais. Vamos usar conceitos de simetria e entender como isso se relaciona com férmions e bósons.
Passo 2
Primeiro, temos a condição dada:
Isso quer dizer que a probabilidade de encontrar as partículas nas posições
e
é a mesma, independentemente de qual partícula está em qual posição. Então, a função de onda
precisa garantir que essa simetria seja mantida.
Passo 3
Para que essa condição seja satisfeita, a função de onda
deve ser tal que, ao trocar
e
, o valor absoluto de
permaneça o mesmo. Isso leva a duas possibilidades:
- Função Simétrica:
- Função Anti-simétrica:
Passo 4
Vamos analisar as duas combinações propostas no enunciado:
- Combinação Simétrica (
):
Aqui, ao trocar
e
, a função de onda não muda:
- Combinação Anti-simétrica (
):
Aqui, ao trocar
e
, a função de onda muda de sinal:
Passo 5
Agora, vamos relacionar essas combinações com os tipos de partículas:
-
Bósons: São partículas que obedecem à estatística de Bose-Einstein. Suas funções de onda são simétricas. Isso significa que, ao trocar as partículas, a função de onda permanece igual.
-
Férmions: São partículas que obedecem à estatística de Fermi-Dirac. Suas funções de onda são anti-simétricas. Ao trocar as partículas, a função de onda muda de sinal.
Passo 6
Portanto:
- A combinação simétrica
representa bósons. - A combinação anti-simétrica
representa férmions.
Resposta
Os bósons são representados pela combinação simétrica
e os férmions são representados pela combinação anti-simétrica
. Isso porque as funções simétricas mantêm a função de onda inalterada ao trocar as partículas, característica dos bósons, enquanto as funções anti-simétricas mudam de sinal ao trocar as partículas, conforme requisitado para os férmions.
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