Mostre que para satisfazer a condição para a densidade de probabilidade no caso de duas partículas indistinguíveis em posições x1 e x2, isto é:
psi^2(x2, x1)=psi^2(x1, x2)
as funções de onda precisam ser combinações simétrica e anti simétrica dos produtos das funções individuais:
psis=A^prime[psin(x1) psim(x2)+psin(x2) psim(x1)]
PsiA=A^prime[psin(x1) psim(x2)-psin(x2) psim(x1)]
Qual dessas combinações representa os férmions? Qual representa os bósons? (Justifique sua resposta)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre funções de onda de duas partículas indistinguíveis. O objetivo aqui é mostrar que, para que a densidade de probabilidade seja a mesma quando trocamos as partículas de lugar, as funções de onda precisam ser combinações simétricas ou anti-simétricas das funções individuais. Vamos usar conceitos de simetria e entender como isso se relaciona com férmions e bósons.

Passo 2

Primeiro, temos a condição dada:
psi^2(x2, x1) = psi^2(x1, x2)
Isso quer dizer que a probabilidade de encontrar as partículas nas posições e é a mesma, independentemente de qual partícula está em qual posição. Então, a função de onda precisa garantir que essa simetria seja mantida.

Passo 3

Para que essa condição seja satisfeita, a função de onda deve ser tal que, ao trocar e , o valor absoluto de permaneça o mesmo. Isso leva a duas possibilidades:
  1. Função Simétrica:
  2. Função Anti-simétrica:

Passo 4

Vamos analisar as duas combinações propostas no enunciado:
  1. Combinação Simétrica ( psis = A^prime[psin(x1) psim(x2) + psin(x2) psim(x1)] ):
psis(x2, x1) = psis(x1, x2)
Aqui, ao trocar PsiA = A^prime[psin(x1) psim(x2) - psin(x2) psim(x1)] e PsiA(x2, x1) = -PsiA(x1, x2) , a função de onda não muda:
  1. Combinação Anti-simétrica ( ):
Aqui, ao trocar e , a função de onda muda de sinal:

Passo 5

Agora, vamos relacionar essas combinações com os tipos de partículas:
  • Bósons: São partículas que obedecem à estatística de Bose-Einstein. Suas funções de onda são simétricas. Isso significa que, ao trocar as partículas, a função de onda permanece igual.
  • Férmions: São partículas que obedecem à estatística de Fermi-Dirac. Suas funções de onda são anti-simétricas. Ao trocar as partículas, a função de onda muda de sinal.

Passo 6

Portanto:
  • A combinação simétrica representa bósons.
  • A combinação anti-simétrica representa férmions.

Resposta

Os bósons são representados pela combinação simétrica e os férmions são representados pela combinação anti-simétrica . Isso porque as funções simétricas mantêm a função de onda inalterada ao trocar as partículas, característica dos bósons, enquanto as funções anti-simétricas mudam de sinal ao trocar as partículas, conforme requisitado para os férmions.

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