Mostre que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais , com as operações de soma e multiplicação definidas por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que o conjunto , com as operações de soma e multiplicação definidas por:
é um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender os axiomas de um espaço vetorial e verificar se eles são satisfeitos nesse conjunto com essas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. É um conjunto de vetores que, além de estar fechado sob adição e multiplicação por escalar, satisfaz certos axiomas, como associatividade, existência de elemento neutro, inversos, etc.
Passo 3
O primeiro axioma que vamos verificar é a fechamento sob adição. Isso significa que, se a gente pegar dois vetores quaisquer em e somar eles usando a operação definida, o resultado também estará em .
Por exemplo, se tivermos e em , a soma claramente também pertence a porque a soma de números reais é real.
Passo 4
Agora, vamos ver o fechamento sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, se a gente multiplicar qualquer vetor de por um número real, o resultado também deve estar em .
Tomando e um vetor , a multiplicação também está em porque o produto de reais continua sendo real.
Passo 5
Vamos checar a associatividade da adição. Isso significa que a ordem como a gente agrupa os vetores na soma não afeta o resultado.
Matematicamente, para quaisquer três vetores , e :
e
que são iguais. Então, a associatividade está válida.
Passo 6
Vamos verificar a comutatividade da adição. Isso quer dizer que a ordem dos vetores na soma não altera o resultado.
Para quaisquer dois vetores e :
e
Como a adição de números reais é comutativa ( e ), as duas somas são iguais. Portanto, a adição é comutativa.
Passo 7
O próximo passo é identificar o elemento neutro da adição. Esse é o vetor que, quando somado a qualquer vetor de , não altera o vetor original.
No nosso caso, o vetor serve como elemento neutro porque:
Passo 8
Vamos agora encontrar o inverso aditivo de um vetor. Ou seja, para cada vetor em , deve existir um vetor tal que:
Isso satisfaz o requisito, já que:
Passo 9
Vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial. Isso significa que para qualquer escalar e vetores e :
Calculando ambos os lados:
e
Os dois lados são iguais, então a distributividade é válida.
Passo 10
Por último, vamos conferir a distributividade da multiplicação por escalares em relação à adição dos escalares. Ou seja, para quaisquer escalares e , e um vetor :
Calculando ambos:
e
Os resultados são iguais, confirmando a distributividade.
Resposta
Como todos os axiomas de um espaço vetorial foram verificados e satisfeitos para com as operações definidas, concluímos que é, de fato, um espaço vetorial.