Mostre que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais
R^2=(x, y) mid x, y in R, com as operações de soma e multiplicação definidas por
(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2) e a(x, y)=(a x, a y), a in R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que o conjunto R^2 = (x, y) mid x, y in R, com as operações de soma e multiplicação definidas por:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) e a(x, y) = (a x, a y), a in R,
é um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender os axiomas de um espaço vetorial e verificar se eles são satisfeitos nesse conjunto com essas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. É um conjunto de vetores que, além de estar fechado sob adição e multiplicação por escalar, satisfaz certos axiomas, como associatividade, existência de elemento neutro, inversos, etc.

Passo 3

O primeiro axioma que vamos verificar é a fechamento sob adição. Isso significa que, se a gente pegar dois vetores quaisquer em R^2 e somar eles usando a operação definida, o resultado também estará em R^2.
Por exemplo, se tivermos (x1, y1) e (x2, y2) em R^2, a soma (x1 + x2, y1 + y2) claramente também pertence a R^2 porque a soma de números reais é real.

Passo 4

Agora, vamos ver o fechamento sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, se a gente multiplicar qualquer vetor de R^2 por um número real, o resultado também deve estar em R^2.
Tomando a in R e um vetor (x, y) in R^2, a multiplicação a(x, y) = (a x, a y) também está em R^2 porque o produto de reais continua sendo real.

Passo 5

Vamos checar a associatividade da adição. Isso significa que a ordem como a gente agrupa os vetores na soma não afeta o resultado.
Matematicamente, para quaisquer três vetores (x1, y1), (x2, y2) e (x3, y3):
((x1, y1) + (x2, y2)) + (x3, y3) = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3)
e
(x1, y1) + ((x2, y2) + (x3, y3)) = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3),
que são iguais. Então, a associatividade está válida.

Passo 6

Vamos verificar a comutatividade da adição. Isso quer dizer que a ordem dos vetores na soma não altera o resultado.
Para quaisquer dois vetores (x1, y1) e (x2, y2):
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
e
(x2, y2) + (x1, y1) = (x2 + x1, y2 + y1)
Como a adição de números reais é comutativa ( x1 + x2 = x2 + x1 e y1 + y2 = y2 + y1), as duas somas são iguais. Portanto, a adição é comutativa.

Passo 7

O próximo passo é identificar o elemento neutro da adição. Esse é o vetor que, quando somado a qualquer vetor de R^2, não altera o vetor original.
No nosso caso, o vetor (0, 0) serve como elemento neutro porque:
(x, y) + (0, 0) = (x + 0, y + 0) = (x, y)

Passo 8

Vamos agora encontrar o inverso aditivo de um vetor. Ou seja, para cada vetor (x, y) em R^2, deve existir um vetor (-x, -y) tal que:
(x, y) + (-x, -y) = (0, 0)
Isso satisfaz o requisito, já que:
(x + (-x), y + (-y)) = (0, 0)

Passo 9

Vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial. Isso significa que para qualquer escalar a e vetores (x1, y1) e (x2, y2):
a cdot [(x1, y1) + (x2, y2)] = a(x1, y1) + a(x2, y2)
Calculando ambos os lados:
a cdot [(x1 + x2, y1 + y2)] = (a(x1 + x2), a(y1 + y2)) = (a x1 + a x2, a y1 + a y2),
e
a(x1, y1) + a(x2, y2) = (a x1, a y1) + (a x2, a y2) = (a x1 + a x2, a y1 + a y2)
Os dois lados são iguais, então a distributividade é válida.

Passo 10

Por último, vamos conferir a distributividade da multiplicação por escalares em relação à adição dos escalares. Ou seja, para quaisquer escalares a e b, e um vetor (x, y):
(a + b)(x, y) = a(x, y) + b(x, y)
Calculando ambos:
(a + b)(x, y) = ((a + b)x, (a + b)y) = (a x + b x, a y + b y),
e
a(x, y) + b(x, y) = (a x, a y) + (b x, b y) = (a x + b x, a y + b y)
Os resultados são iguais, confirmando a distributividade.

Resposta

Como todos os axiomas de um espaço vetorial foram verificados e satisfeitos para R^2 com as operações definidas, concluímos que R^2 é, de fato, um espaço vetorial.

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Calcule quando possível:
C D