Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . O que a gente precisa encontrar aqui é uma base e a dimensão do , que é o núcleo da transformação. O núcleo é o conjunto de todos os vetores que, ao passarem pela transformação , resultam no vetor zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações e espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo da transformação . O é o conjunto de todos os pares em que satisfazem . Ou seja, queremos encontrar todos os tais que:
Passo 3
Agora, vamos resolver as equações que resultam dessa igualdade. Temos que:
A segunda equação é sempre verdadeira, então a única condição que precisamos considerar é .
Passo 4
Vamos simplificar a equação . Podemos reescrevê-la como:
Isso significa que, para qualquer valor de , o valor de deve ser o dobro de . Então, todos os vetores no núcleo têm a forma , onde é um número real.
Passo 5
Para expressar o de forma vetorial, podemos fatorar o :
Isso mostra que todo vetor no núcleo é um múltiplo escalar do vetor . Portanto, o conjunto é uma base para o .
Passo 6
Por fim, a dimensão do núcleo é o número de vetores na base. Como nossa base tem apenas um vetor , a dimensão do é 1.